Grundlagen der statistischen Mechanik. 42] 



Zelle gelegene Punktmannigfaltigkeit, welche einer kontinuierlichen Menge möglicher Anfangszustände 

 der Gesamtheit entspricht, in die innerhalb der zweiten Zelle gelegene Punktmenge transformiert. Die 

 Forderung, daß die Volumina der beiden Zellen gleich seien, lautet 



indem wir die Koordinaten des s len Systems der Gesamtheit mit i\, Sf...££ bezeichnen; und zwar soll 

 diese Gleichheit infolge der Gleichungen statthaben, welche den der Zelle A entsprechenden Zustand 

 in jenen der Zelle B transformiert. Man erkennt nun sogleich, daß dieser Forderung nach dem 

 Liouville'schen Satz wirklich genügt wird, sofern die Gesamtheit ein mechanisches System ist, und 

 sobald man zur Beschreibung desselben als Zustand sve-ränderli che die generalisierten Koordinaten 

 und Impulse verwendet. Damit ist eine Vorschrift für die Wahl der unabhängigen Veränderlichen 

 gegeben. 



Nunmehr ist es klar, daß auf die Wanderung des darstellenden Punktes statistische Überlegungen 

 angewendet werden können. Mag dieselbe auf welcher Bahn immer erfolgen, es werden doch, wenn 

 man nur eine genügend lange Zeit abwartet, jene Sterne häufiger besucht werden, zu denen mehr 

 Zellen gehören, am häufigsten also der zellreichste Stern. Denken wir uns in einem bestimmten Moment 

 eine gewisse Verteilung der Systeme der Gesamtheit auf den möglichen Bereich der Phasenvariablen, 

 also eine gewisse Lage des darstellenden Punktes im T-Raume. Lassen wir eine Zeit z verstreichen; 

 während derselben mögen eine große Zahl von Verteilungen miteinander abwechseln, so daß der 

 darstellende Punkt durch viele Zellen wandert. Denken wir uns für jeden Stern die Zahl der Zellen 

 bestimmt, durch welche der darstellende Punkt hindurchgewandert ist, und bilden wir die Verhältnisse 

 dieser Zahlen zu der Gesamtzahl aller Zellen, die der Punkt während der Zeit t durchwandert hat; 

 wir erhalten so die relative Häufigkeit, mit der eine jede der Verteilungen, welche zu den durch- 

 wanderten Sternen gehören, in der Zeit r vorhanden gewesen ist. Wie wir im vorigen Paragraphen 

 gesehen haben, wird eine jede dieser Verteilungen zu dem »Momentanwerte« einer beobachtbaren 

 thermodynamischen Größe F — für die Beobachtung ist t »unmeßbar klein« — beitragen. Wenn nun 

 auch die Zahl der Verteilungen, welche sich während der Zeit r einstellen, groß ist, so wird sich doch 

 wegen der sehr großen Zahl von Phasenpunkten, die in einer Zelle des ix-Raumes sind, die ursprüngliche 

 Verteilung im Laufe der Zeit z nur wenig geändert haben. Wenn zum Beispiel während dieser Zeit 

 aus irgend einer Zelle eine Million Phasenpunkte austreten, vorher aber eine Billion derselben darin 

 gewesen war, so bedeutet dieser Vorgang eine Änderung des Zellinhaltes um nicht mehr als ein 

 Milliontel. Die Verteilung der Phasenpunkte auf die Zellen des [J.-Raumes ändert sich also nur sehr 

 allmählich, und man kann in diesem Sinne sagen, daß man die Verteilungen selbst beobachtet. Je große 

 die relative Häufigkeit einer Verteilung ist, umso länger wird sie zu dauern scheinen, weil sie von 

 Zeit zu Zeit wiederkehrt und sich dazwischen nur unmerklich geändert hat. Die Geschwindigkeit, mit 

 der sich die Verteilungen zu ändern scheinen, wird also umso kleiner, je größer die relative Häufigkeit 

 derselben ist. Zugleich erkennt man, daß sich der beobachtbare Vorgang in der Richtung von selteneren 

 zu häufigeren Verteilungen ändern muß. Für die häufigste Verteilung, welche immer wiederkehrt, wird 

 die scheinbare Änderungsgeschwindigkeit des beobachtbaren Vorganges null, sie entspricht also dem 

 stationären Zustande des thermodynamischen Gleichgewichts. Nun kann man nach dem Bernoulli'schen 

 Theorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei einer sehr großen Zahl von Realisierungen eines Er- 

 eignisses, wie wir sie hier vor uns haben, die relative Häufigkeit desselben nahezu mit der Wahr- 

 scheinlichkeit desselben identisch annehmen. Demnach erkennt man, daß die Wahrscheinlichkeit einer 

 Verteilung — und jede monoton wachsende Funktion derselben die Eigenschaft der Entropie 



eines abgeschlossenen Körpersystems hat, beständig zu wachsen. Ihr Grenzwert, der strenge genommen 

 erst aus der Beobachtung unendlich langer Zeiten sich ergäbe, deckt sich mit dem Verhältnis der 

 Größe z der Gleichung A in § 1 zur Gesamtzahl aller möglichen Verteilungen, wenn man in : Für 



