Grundlagen der statistischen Mechanik. 427 



diese Hyperellipsoide sind eben die Schnitte der obigen Flächenschar mit dem 61- £2- • • • £*-Raume. Für 

 den Schnitt mit diesem x-dimejisionalen Räume verhält sich demnach alles genau ebenso, wie wenn die 

 Energie die Form IIa hätte. Denken wir uns also bei festen Werten £ x+1 r= a x+1 , £ x +2 = a, *+2, • . . hr—Ur 

 die Verteilung im Si- £ 2 - . . 4 X -Raume durchgeführt, das heißt mit jenen Phasenpunkten, deren Koordinaten 

 £x+i,---s(- zufällig gerade die genannten Werle haben, so gelten für diese Verteilung alle Konsequenzen, 

 welche wir im ersten Abschnitt aus der Form IIa gezogen haben. Vor allem gilt also auch das 

 Resultat des § 8, daß jedes Glied £•>.£-,/- denselben Mittelwert bei der Verteilung im £i-i>- ■ ■ • £ X -Raume 

 hat. Diesen Schluß kann man aber auch ziehen, wenn | x+1 , 6*+2 ■ • • £r nicht gerade die Werte 

 tfx+i, #x+2, • • • an sondern irgendwelche Werte innerhalb der Grenzen a x+1 , a x+2 . . . ä r bis respektive 

 tf-/.+i + o x+1 , a x+2 + 8 x+2 , . . . a r + 8 r haben, weil sich innerhalb dieses Bereichs von Zellenbreite die 

 statistische Verteilung im £ x+1 -£ x+2 - . . . -£,--Raume nicht ändert. Damit ist also bewiesen, daß für die 

 betrachteten Werte der Variablen £ x+1 , £ x+2 . . . kr der Mittelwert einer jeden der Größen c>, £ ? , (X 2 =l, 2 . . .x) 

 in dem Ausdruck für Hj im £i-£ 2 - • • • £ X -Raume derselbe ist. 



Gilt dieser Satz aber innerhalb des betrachteten Intervalls von Zellenbreite der £ x+1 , £ x+2 . . . i r , so 

 gilt er für jedes andere Intervall von Zellenbreite; denn seine Gültigkait ist unabhängig von den 

 speziell gewählten Konstanten a x+1 , a x+2 , . . . a r und 8 X+1 , 8 x+2 . . . 8,.. Also gilt er für beliebige Werte der 

 Variablen £ x+1 , £ x+2 . . . £ r innerhalb des Raumes Q. Wir bekommen also den folgenden wichtigen Satz, 

 der das Gleichverteilungsgesetz der Energie (law of equipartition of energy) ausspricht: 



Läßt sich die Energie eines mechanischen Systems in der Form III darstellen, so 

 hat der Mittelwert einer jeden Teilenergie von lila im Bereiche ß des Zustandsraume s 

 für das thermodynamische Gleichgewicht denselben Wert. 



Wenn speziell der ganze Energieausdruck sich auf H x reduziett, also die Form IIa) hat — nun- 

 mehr natürlich mit konstanten Koeffizienten C\ — , so ist der Mittelwert jeder Teilenergie "T"^^ ^ er 



E 

 r te Teil von e= — des Mittelwertes der Gesamtenergie: 



N 



-1^1=—. 26) 



2 r 



Man kann nun zeigen, daß unter der Voraussetzung, die betrachtete Systemgesamtheit sei 

 ergozonal, dieser Energieverteilungssatz auch für die zeitlichen Mittelwerte gilt. In der Tat bedeutet 

 ja die genannte Voraussetzung nach § 15, daß der die Systemgesamtheit darstellende Punkt in jede 

 Zelle des F-Raumes gelangt. Da aber eine Zelle des F-Raumes einer Komplexion der Elemente im 

 (A-Raume entspricht, so ist die Hypothese gleichbedeutend mit der Aussage, daß im Laufe der Zeit 

 alle möglichen Komplexionen wirklich realisiert werden. Hieraus aber folgt wieder, daß ein Element 

 bei seiner Wanderung im (x-Raume in jede Zelle gelangt und daselbst an der Realisierung jeder Ver- 

 teilung in allen möglichen Weisen teilnimmt. Unter allen Verteilungen ist aber die wahrscheinlichste, 

 d. i. die des thermodynamischen Gleichgewichts, erdrückend häufig, so daß sie, wie wir in § 15 

 gesehen haben, einmal erreicht, als stationär gelten kann. Demnach liefert der zeitliche Mittelwert 

 einer Größe, gebildet für ein Element, das man auf seiner Wanderung verfolgt, mit genügender An- 

 näherung dasselbe Resultat wie der statistische Mittelwert derselben Größe, gebildet mit allen 

 Elementen für den Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts. 



Man erkennt also: Der Gleichverteilungssatz ist nur bewiesen für eine Energie der Form IIa). 

 Dafür aber ist er nicht etwa beschränkt auf die kinetische Energie. Denn zu einem Ausdruck der 

 Form IIa können sehr wohl auch Teile der potentiellen Energie gehören, wie dies bei schwingenden 

 Sytemen der Fall ist. So gilt zum Beispiel der Gleichverteilungssatz für die ganze Energie Planck'scher 

 Oszillatoren; er gilt ebenso für den Energieanteil der Gasmoleküle, der nicht der potentiellen Energie 

 äußerer Kräfte angehört, falls jener die Form IIa hat, also außer der kinetischen Energie der fort- 



