Grundlagen der statistischen Mechanik. 459 



mehr ausreicht, so findet man, daß 37 b) die Tatsachen recht gut wiedergibt, nicht wesentlich schlechter 

 als die Debye'sche Formel. Im ganzen gewinnt man, zumal bei Betrachtung der Fig. 4, den Eindruck, 

 als ob die Wahrheit gleichsam zwischen den Formeln 37b) und 37c), aber mehr auf Seiten der ersten 

 läge. Das würde heißen, daß die Definition 8b) für a>, derjenigen von Sc) zwar vorzuziehen ist, daß 

 aber die richtige Definition vielleicht weder die eine noch die andere ist, sondern zwischen beiden 

 liegt, also etwa die Form hat 



wo die Zahl % die Bedingung 



0<K<1 



zu erfüllen hat. Erinnern wir uns, in der Tat, an die Bedeutung der drei Definitionen von a>,: wir 

 konnten für die »Energie einer Zelle« entweder einen der Extremwerte der Energie, wie sie an den 

 Wänden der Zelle vorhanden sind, setzen (8a oder 8b), oder einen Mittelwert derselben wählen; daß 

 aber dieser gerade das arithmetische Mittel der äußersten in der Zelle vorkommenden Energiewerte 

 sein sollte (8c), war natürlich nicht notwendig, wenn auch dieser Ansatz sich zunächst als der ein- 

 fachste bietet. 



Eine eingehendere Behandlung des Problems der spezifischen Wärmen nach den hier dargelegten 

 Methoden dürfte aussichtsreich sein. Denn so viel zeigt schon das hier Vorgebrachte, daß die den 

 Gesetzen der statistischen Mechanik gemäße Behandlungsweise der Frage trotz der Einfachheit der Vor- 

 aussetzungen — Annahme einer einzigen Atomschwingung wie bei Einstein — sehr gute Resultate 

 gibt. Ein noch besserer Anschluß an die Erfahrung könnte, wenn nötig — abgesehen natürlich von 

 der Möglichkeit und Notwendigkeit, eine größere Zahl von Gliedern der Reihe zu berechnen und 

 dadurch eine bessere Näherung zu erhalten — auf einem der beiden folgenden Wege erzielt werden: 

 Entweder könnte man, wie eben bemerkt, anstatt der durch 8b) oder 8c) gegebenen Definition nach 

 8d) ein richtiges jc suchen, welches die wirklichen Verhältnisse am besten wiedergibt; oder man könnte 

 versuchen, als Element der Gesamtheit nicht ein einfach schwingendes, sondern ein komplizierteres 

 Atom mit mehreren Eigenschwingungen zugrunde zu legen. 



Zusammenfassung. 



Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Statistik der Verteilung von iV Punkten in 

 einem abgegrenzten Teile des r-dimensionalen Raumes. Im besonderen wird der Fall einer genaueren 

 Untersuchung unterzogen, daß die Verteilung einer Nebenbedindung von der Form der Gleichung II 

 zu genügen hat, wobei die in dieser Bedingung auftretende wichtige Funktion H alsbald einer positiv 

 definiten quadratischen Form der r Raumkoordinaten gleichgesetzt wird (Gleichung IIa). Für diesen 

 Fall wird die statistisch häufigste Verteilung gerechnet (Gleichung 9, 10, 11); ferner wird gezeigt, daß 

 der statistische Mittelwert eines jeden Gliedes der quadratischen Form denselben Wert hat (§§ 7, 8). 



Im zweiten Teile werden die N Punkte des ersten Teiles mit den Phasenpunkten von X physi- 

 kalischen Systemen identifiziert. Nachdem festgestellt ist, daß die statistischen Untersuchungen des 

 ersten Teiles zwar auf eine Raum-, aber nicht auf eine Zeitgesamtheit angewendet werden können 

 (§ 10), wird als Konsequenz des jenen Untersuchungen zugrunde liegenden Unabhängigkeitspostulats 

 gefunden, daß die physikalischen Systeme »quasi-regulär« sein müssen (§§ 11, 12), und daß die für 

 die statistische Untersuchung zu konstruierende Zelleneinteilung des Phasenraumes durch Flächen 

 konstanter Energie herzustellen ist (§ 13). Es wird hierauf die Bedeutung des Theorems vom Minimal- 

 volum der Zelle auseinandergesetzt und die Planck'sche Quantentheorie rein statistisch zu deuten 

 versucht (§ 14). Im $ 15 wird die Fundamentalhypothese aufgestellt, welche die statistischen 



Denkschriften der mathem.-naturw, Klasse, 95. Band, 63 



