Physik der kontinuierlichen Medien. 



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hat. Nach (160) und (159) ist, wenn wir der Einfachheit wegen a als isotrop annehmen 



161) ö/ = — a e~ x : >b und a!j =a (I— 2ty) also schließlich 



162) Ö! = — aile- 1 :^— 2 <b • ß- 1 : <|»]. 



Die elastischen Spannungen sind hiernach nur von der Deformation abhängig, aber sie sind auch 

 in idealen Medien von der Deformationsdyade <b nicht linear abhängig, sondern es kommen noch 

 Spannungen, welche in >b vom zweiten Grade sind, hinzu. Das Medium hat nur einen (in Kristallen 

 tetradischen) Elastizitätsmodul vom Werte a\e~ x , doch kommen zu diesen echt elastischen Span- 

 nungen in allen Medien noch isotrope Drucke, welche nicht von der stofflichen Variablen äj, sondern 

 ausschließlich von der Dichte und Temperatur abhängen, und zu welchen noch der Energiedruck 

 (§ 91) kommt. 



100. Unvollkommen elastische Kristalle. Um die Theorie der unvollkommenen Elastizität 

 anisotroper Medien einfach darzustellen, betrachten wir einen Kristall, dessen Verhalten nur durch 

 zwei sehr vereinfachte stoffliche Differentialgesetze bestimmt wird, nämlich durch die Elastizi- 

 tätsgleichung Uly) und durch die Zähigkeitsgieichung IV)), welche lautet: 



dz,- 



IV,) 



ni; 



dt J 



[V;b].ßj' 



= 0. 



Der Einfachheit wegen setzen wir ferner die Proportionalität der dyadischen Koeffizienten 

 ß" =x a.j voraus, worin % eine reine Konstante. Es folgt aus 111/ und IV; durch Elimination der Defor- 

 mationsglieder die Differentialgleichung erster Ordnung 



m 



'} • 



dzj 

 dt 



X«; 



da 



•j 

 dt 



k 



d'b 

 dt 



Nach (161) ist ej : aj = a ty und wir setzen a K — k. 

 Das Integral dieser Differentialgleichung ist: 



l j — 



— J!Lt\ k r' d'b + x jt 



ni,- \C + " / ~~ e m; dt 



\ Wl; ,L dt 



"J 



Durch wiederholte partielle Integration ergibt sich 



163) 



ty — C e 



— *j t 



k d'b hrij d-ty km) d 3 <b 



Xj dt 



x) dt 2 xj dt s 



worin die höheren Differentialquotienten die Bedeutung 



d 2 <b __ d' d<b d s <b __ d' 2 d'b 



dt' 1 ~~ dt dt dt* ~ dt 2 dt 



haben. Die stoffliche Spannungsdyade hat den Wert 



h = 



4'\ßj] 



+ 



?j '\ Z J 



Die durch die stoffliche Variable vj bestimmten Spannungen sinken mit dieser rasch auf Null 

 ab, wenn sich die Deformation <b nicht ändert, sind aber im allgemeinen Falle der Deformations- 

 geschwindigkeit d'b/dl proportional und im geringen Grade auch von den höheren Differentialquo- 

 tienten der Deformationsdyade <J» nach der Zeit abhängig. In erster Annäherung ist: 



1 k% d<b 



:<b+ — 



x, dt 



Der erste Teil der Spannungsdyade, welcher die Deformation •) proportional ist, bestimmt die 

 elastischen Spannungen, der zweite Teil, welcher der Deformationsgeschwindigkeit d <) dt proportional 



