195 



ideale Zahl /(«), deren d u Potenz /(«) rf , aber keine niedere 

 Potenz, eine wirkliche complexe Zahl ist, als eine zum Expo- 

 nenten d gehörende. Den gröfsten aller Exponenten, zu wel- 

 chem ideale Zahlen gehören, bezeichne ich mit h, die Anzahl 



aller Klassen mit //, und nenne nach Gauls den Quotienten 

 u 

 — , welcher stets eine ganze Zahl ist, den Exponenten der 



Irregularität. 



Es lassen sich nun zunächst aus dem Begriffe der Äqui- 

 valenz selbst, auf elementare Weise, folgende Sätze ohne Schwie- 

 rigkeit beweisen: 



1) Wenn es eine ideale Zahl giebt, die zum Exponenten d 

 gehört, und eine andere, die zum Exponenten d' gehört, 

 und wenn t die kleinste durch d und d' zugleich theil- 

 bare Zahl ist, so giebt es stets ideale Zahlen, welche 

 zum Exponenten / gehören. 



Hieraus folgten unmittelbar folgende Sätze: 



2) Der gröfste aller Exponenten h, zu welchem ideale Zah- 

 len gehören, ist ein Vielfaches eines jeden Exponenten, 

 zu welchem ideale Zahlen gehören. 



TT 



3) Der Exponent der Irregularität — — enthält keine anderen 



Primfactoren in sich, als solche, welche auch in h ent- 

 halten sind. 



4) Nur wenn die Klassenanzahl H irgend welche Primfacto- 

 ren mehrmals enthält, kann die Determinante A eine irre- 

 guläre sein, und nur die in H mehrfach enthaltenen Prim- 

 factoren können Primfactoren des Exponenten der Irre- 

 gularität sein. 



Diese Sätze, welche auch Gaufs für die quadratischen Formen 

 gegeben hat, gelten ganz allgemein für alle Systeme nicht- 

 äquivalenter idealer Zahlen, welche man nur bilden kann, auch 

 wenn die complexen Zahlen nicht aus den Wurzeln der Glei- 

 chung « x = 1 , sondern aus den Wurzeln irgend einer ande- 

 ren algebraischen Gleichung gebildet werden. Um nun aber 

 für die aus X len Wurzeln der Einheit gebildeten complexen 

 Zahlen diesen Gegenstand tiefer zu ergründen, mache ich von 

 dem gefundenen Ausdrucke der Klassenanzahl für dieselben Ge- 



