198 



der obigen Gleichung vorkommenden Brüchen der gemein- 

 schaftliche Nenner IQ gegeben ist, die Summation in Bezie- 

 hung auf m ausgeführt, so verschwindet ß nothwendig aus 

 dieser Gleichung, und man erhält eine Gleichung von der Form 



2Q * W")' 



in welcher die Coefficienten A x ganze Zahlen sind. Multipli- 

 cirt man nun mit 2Q, und geht von den Logarithmen zu den 

 Zahlen zurück, so erhält man 



Aus dem Producte auf der linken Seite dieser Gleichung ver- 

 schwindet die Wurzel x nothwendig von selbst, dasselbe ist 

 eine wirkliche complexe Zahl, welche nur « enthält. 



Andererseits ist — — - eine ideale complexe Zahl, welche 



/(« ) 

 mit ihrer reciproken multiplicirt wirklich wird, und sie ist auch 

 der Repräsentant aller derartigen idealen complexgn Zahlen, 

 obgleich sie sich nur auf ideale Primfactoren von der Form 

 p = uX-hl bezieht, denn nach einem von mir in Crelle's Jour- 

 nal Bd. 35. pag. 357 bewiesenen Satze bewirken die idealen 

 Primfactoren der anderen linearen Formen angehörenden Prim- 

 zahlen keine besonderen Klassen idealer Zahlen. Also: 



Die (X — l) (? te Potenz jeder idealen Zahl der Art, welche 

 hier in Rede steht, ist eine wirkliche complexe Zahl. 

 Der Factor X — 1 in diesem Exponenten fällt von selbst überall 



P 



da weg, wo die Klassenzahl - — - — - zu X — 1 relative Prim- 

 zahl ist, in jedem Falle aber kann man statt desselben nur den 

 gröfsten gemeinschaftlichen Factor der Klassenzahl mit X — 1 

 nehmen. Nennt man diesen c, so ist, wie man hieraus er- 

 kennt, jede Determinante X eine irreguläre, für welche cQ 

 kleiner ist als die Klassenzahl. Die Anzahl aller Klassen idealer 

 Zahlen ist, abgesehen von dem Divisor (2X) fl ~ i gleich dem 

 Producte aller complexen Zahlen <p(ß), cp(ß 3 ) . . . . <p(/3 x-2 ); 



