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nicht blofs unendlich viele neue auflösbare Gleichungen, son- 

 dern eben alle möglichen gewissermafsen vor Augen und 

 kann an der entwickelten Form ihrer Wurzeln alle ihre Eigen- 

 schaften auffinden und erweisen. 



Diesen wenigen Bemerkungen über den Zielpunkt meiner 

 Untersuchungen und den wesentlichen Inhalt der vorliegenden 

 Notizen habe ich nur hinzuzufügen, dafs das eben erwähnte 

 Problem, welches ich mir von vorn herein gestellt hatte, frei- 

 lich noch gänzlich umzuformen war, um es für eine Unter- 

 suchung geeignet zu-machen. Die genaue Formulirung des 

 Problems selbst ist aber hier von so grofser Wichtigkeit, 

 dafs ich in den folgenden Mittheilungen grade in dieser Hin- 

 sicht etwas weitläufiger sein mufs, um nicht durch die Kürze 

 der Klarheit Abbruch zu thun. 



Abel hat in seiner fragmentarischen Abhandlung über die 

 algebraische Auflösung der Gleichungen (No. XV. des zweiten 

 Bandes der gesammelten Werke) unter andern Problemen wört- 

 lich folgendes aufgestellt: „Den allgemeinsten algebraischen 

 Ausdruck zu finden, welcher einer Gleichung von einem gege- 

 benen Grade genügen könne." Fügt man diesem Probleme 

 dasjenige hinzu, was erforderlich ist, um es zu einem bestimm- 

 ten zu machen, so enthält es in der That alle Probleme in 

 sich, die man in Bezug auf die Auflösbarkeit der Gleichungen 

 stellen kann, und ist namentlich die wichtigste Verallgemeine- 

 rung des (als in gewissem Sinne zu speziell) unlösbaren Pro- 

 blems „die Wurzel einer Gleichung irgend eines Grades als 

 algebraische Function ihrer Coefficienten auszudrücken." Es ist 

 nun aber, wie gesagt, bei obigem Probleme noch erforderlich, 

 den Zusammenhang zwischen dem gesuchten algebraischen Aus- 

 druck und den Coefficienten der Gleichung zu bestimmen; des- 

 halb ist die Aufgabe vielmehr dahin zu stellen: 



,,Die allgemeinste algebraische Function irgend welcher 



Gröfsen A, B, C, . . . . zu finden, welche einer Gleichung 



von einem gegebenen Grade genügt, deren Coefficienten 



rationale Functionen jener Gröfsen sind." 



Es ist hierbei zu bemerken, dafs man die Irreductibilität 



der Gleichung in Bezug auf A, B, C, etc. vorauszusetzen hat; 



d. h. die Gleichung soll (so lange man für A, B, C, etc. nicht 



