367 



Irgend welche spezielle Werthe substituirt) nicht in Factoren 

 niederen Grades zerlegt werden können, deren Coefficienten 

 wiederum rationale Functionen von A, B, C, etc. sind. Das 

 obige Problem kann darnach auch folgendermaafsen ausgedrückt 

 werden : 



„Für eine gegebene Zahl n die allgemeinste algebraische 

 Function von A, B, C, etc. zu finden, welche durch die 

 Variirung der darin enthaltenen Wurzelzeichen ver- 

 schiedene Ausdrücke ergiebt, unter denen n so beschaffen 

 sind, dafs ihre symmetrischen Functionen sämmtlich ra- 

 tionale Functionen jener Gröfsen A, B, C, etc. sind." 

 Für den Fall nun, dafs der gegebene Grad der Gleichung resp., 

 nach der zweiten Ausdrucksweise, die Anzahl der Werthe eine 

 Primzahl ist, hat Abel die Untersuchung in der angeführten 

 Abhandlung im Wesentlichen so weit geführt, dafs er die fol- 

 genden beiden Formen angab, welche die gesuchten algebrai- 

 schen Functionen haben müssen : 



I. p -hs u -*-fz(s)-^-*- +/*-< fr)-* " 



(pag. 204 des II. Bandes der gesammelten Werke), wo unter 



der Primzahl ;/. der gegebene Grad der Gleichung, unter p 



eine rationale Function, untere eine algebraische Function von 



A, B, C, etc. und unter f k (s) eine rationale Function von s 



und von A, B, C, etc. zu verstehen ist. — Die zweite Form 



findet sich pag. 190 desselben Bandes und Werkes, und ist: 



.L — -L 



II. po+R' + E»-*. +^_,, 



wo p eine rationale Function von A, B, C, etc. ist, und 

 R,, R 2 , . . . Wurzeln einer Gleichung \x — tslen Grades be- 

 deuten, deren CoeTficienten rationale Functionen von A, B, C, etc. 

 s jnd. — Für diese beiden Formen hat Malmsten einen aus- 

 führlichen Beweis im 34. Bande des Crelle'schen Journals ge- 

 geben, der jedoch, wie ich glaube, einige Vervollständigungen 

 noch wünschenswerth erscheinen läfst. 



Jene beiden Formen mufs nun zwar nothwendig jede alge- 

 braische Function haben, wenn sie dem Probleme Genüge lei- 

 sten soll; aber die Formen sind noch zu allgemein, d. h. sie 

 schliefsen auch solche algebraische Functionen in sich, die dem 



