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Probleme nicht Genüge leisten. Ich habe deshalb jene beiden 

 Formen näher untersucht und zuvörderst gefunden, dafs dieje- 

 nigen in der Form IL enthaltenen algebraischen Functionen, 

 welche dem Probleme genügen, die Eigenschaft haben müssen, 

 dafs nicht nur (wie Abel bemerkt hat) die symmetrischen Func- 

 tionen der Gröfsen R t , R 2 , . . . ., sondern auch — wenn man 

 diese in einer gewissen Ordnung nimmt — die cyclischen 

 Functionen derselben rationale Functionen der A, B, C, etc. 

 sein müssen; d. h. 



„dafs die Gleichung \x — lsten Grades, deren Wurzeln 

 die Gröfsen R t , R 2 , .... sind, eine Abel sehe ist." 

 Ich verstehe hier unter „Ab eischen Gleichungen" immer jene 

 besondere Classe auflösbarer Gleichungen, welche Abel in dem 

 memoire XI. des ersten Bandes der gesammelten Werke behan- 

 delt hat und welche (wenn man annimmt, dafs ihre Coeffi- 

 cienten rationale Functionen von A, B, C, etc. und ihre Wur- 

 zeln nach einer bestimmten Ordnung genommen x x , x 2 ....x n 

 sind) ebensowohl dadurch definirt werden können, „dafs die cy- 

 clischen Functionen der Wurzeln rationale Functionen von 

 A, B, C, etc. sind" als dadurch „dafs die Gleichungen x 2 = 6(x t ), 



x, = ö(x 2 ), x n = 6(x n _ t ), x, =6(x a ) statthaben", wo 6 (x) 



eine ganze rationale Function von x bedeutet, deren Coeffi- 

 cienlen rationale Functionen von A, B, C, etc. sind. — Auf 

 diese besondere Classe von Gleichungen, die übrigens von dem 

 gröfsten Interesse für die Analysis und Zahlentheorie und, wie 

 man hier sieht, auch für die Algebra selbst ist, werde ich unten 

 noch zurückkommen. 



Eine weitere Untersuchung der obigen Formen I. und II. 

 ergiebt aber noch folgende nähere Bestimmung für diejenigen, 

 Gröfsen R, welche die Form II. zu einer dem Probleme genügen- 

 den machen. Es mufs nämlich 



III. R K = F(rJ».rl-* .r*-;.r*;| .... r x+ ,_ 2 



sein, wo r x , r KH _, .... die \a — l Wurzeln irgend einer Ab ei- 

 schen Gleichung (ja — l)sten Grades sind, d. h. wo sowohl die 

 symmetrischen als die cyclischen Functionen der Gröfsen r 

 (die Anordnung derselben nach den Indices genommen) ratio- 

 nale Functionen von A, B, C, etc. sind; wo ferner F(r) irgend 



