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eine rationale Function von r und von A, B, C, etc. , und wo 

 endlich y m den kleinsten positiven Rest von g m mod. \x bedeu- 

 tet, wenn g eine primitive Wurzel von \x ist. Substituirt man 

 diesen Ausdruck von jR x in II., so erhält man eine Form, 

 welche nicht nur jeder dem Problem genügende Ausdruck haben 

 mufs, sondern welche auch (und das ist die Hauptsache) nur 

 solche Ausdrücke enthält, die dem Probleme genügen; d. h. 

 die so entstandene Form erfüllt als Wurzel identisch eine Glei- 

 chung ^ten Grades, deren Coefficienten rationale Functionen 

 von A, B, C, etc. sind, die übrigen Wurzeln werden durch 

 Änderung des f/ten Wurzelzeichens in II. erhalten und zwar 

 in der Weise, dafs die mte Wurzel z m dureh folgende Glei- 

 chung bestimmt wird: 



IV. z m = Po +«j n .R' x i -i-u em .R»-t-w g - m .R»-h....-+.uje - m .R»_ t 



wo für die Gröfsen B die Ausdrücke aus III. zu nehmen sind 

 und w eine imaginäre jwte Wurzel der Einheit bedeutet. Hier- 

 aus geht zuvörderst hervor, dafs, während die symmetrischen 

 Functionen der Gröfsen z eben rationale Functionen von 

 A, B, C, etc. sind, die cyclischen Functionen derselben (wenn 

 man die Ordnung nach den Indices nimmt) rationale Functionen 

 von A, B, C, etc. und von r t , r 2 , .... sind. Da aber diese 

 Gröfsen r selbst Wurzeln einer Ab eischen Gleichung und 

 also r 2 , r 3 . . . . rationale Functionen von r, und A, B, C, etc. 

 sind, so heifst dies nichts Anderes als: „jede auflösbare Glei- 

 chung von einem Primzahlgrade ist eine Abel sehe, wenn man 

 eine Gröfse r t als bekannt annimmt, welche selbst Wurzel 

 einer Ab eischen Gleichung ist;" oder auch: „die u W 7 urzeln 

 einer auflösbaren Gleichung sind immer dergestalt unter ein- 

 ander verbunden, dafs: 



*2 = f{ z i , r t), H s=s f( z 2,r t ), .... 2, =/(z^,r,), 

 wo/(i, r, ) eine rationale Function von x, r, und von A, B, C, etc. 

 bedeutet und r, die Wurzel einer Abelschen Gleichung ist, 

 deren Coefficienten rationale Functionen von A, B, C, etc. sind. 

 Diese Relation der Wurzeln einer jeden auflösbaren Gleichung 

 ist übrigens die wahre Quelle jener von Abel uud Galois 

 als charakteristisches Merkmal der Wurzeln auflösbarer Glei- 



