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Lösungen des Problems zu einander, und insbesondere zu irgend einem 
derselben stehen. Es zeigt sich in der That, dass wenn eine Lösung 
gegeben ist, die 39 übrigen mit Hülfe von Wurzelausziehungen gefunden 
werden, welche den 3. Grad nicht übersteigen. Solche 39 Lösungen thei- 
len sich in zwei Classen, von denen die eine 27, die andere 12 umfasst. 
Die ersten 27 bilden 9 Gruppen zu 3, und die 9 Gruppen hängen von 
einer Hesseschen Gleichung 9. Grades ab; die 12 andern sind durch eine 
Gleichung zwölften Grades gegeben, welche als die bekannte Resolvente 
zwölften Grades angesehen werden kann, die aus der Hesseschen Glei- 
chung entspringt; sie wird durch eine Gleichung vierten Grades mit ver- 
schwindender erster Invariante gelöst, welche zugleich die characteri- 
stische Gleichung der Hesseschen Gleichung neunten Grades ist. 
Es ist von Interesse, dass hier ein neuer Fall einer Hesseschen 
Gleichung neunten Grades vorliegt, den ich im Folgenden vollständig 
durchgeführt habe. Das Problem, welches auf dieselbe führt, lässt sich an 
und für sich in folgender Weise aussprechen: Gegeben sind zwei homogene 
Functionen u, v von zwei Verdnderlichen, und zwar beziehungsweise zweiter 
und dritter Ordnung. Man soll eine lineare Function E so bestimmen, dass 
2v — 3u£ +2 ein vollständiger Cubus wird. 
Die Untersuchung der Gruppirung von 39 Lósungen des gegebenen 
Problems gegen die vierzigste führt auf eine Gruppirung der Lösungen, 
welche algebraisch von grösster Wichtigkeit ist, und mit den Untersuchun- 
gen in genauem Zusammenhange steht, welche Herr Jordan über die Drei- 
theilung der hyperelliptischen Functionen seitdem veröffentlicht hat (Comptes 
Rendus, 12. April 1869). Es zeigt sich nämlich, dass die 40 Lösungen 90 
Quadrupel bilden, welche wieder in 45 Quadrupelpaare zerfallen, und also 
durch eine Gleichung fühfundvierzigsten Grades gefunden werden. Die 40 
Lösungen aber kann man auf 27 verschiedene Arten aus je 5 Quadrupelpaa- 
ren zusammensetzen; und die Gleichung fünfundvierzigsten Grades führt. 
also weiter auf eine Gleichung siebenundzwanzigsten Grades, durch welche 
die Gleichung vierzigsten Grades gelöst wird. Dies ist dasselbe Resultat, wel- 
ches Herr Jordan a. a. O. aus der Theorie der Substitutionen abgeleitet hat. 
Góttingen, den 5. Juni 1869. 
