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gen also mit den Puncten, in welchen eine beliebig durch den Doppel- 
punct gezogene Gerade schneidet, in einer solchen Curve 2., wie sie bei 
der Ableitung von 4. vorausgesetzt wurde. Aber diese Curve dritter 
Ordnung wird von der beliebig durch den Doppelpunct gelegten Geraden 
in vier Puncten geschnitten, besteht also aus ihr und einem Kegelschnitt; 
dieser endlich muss die gegebene Curve im Doppelpuncte noch viermal 
schneiden, also in ihm selbst einen Doppelpunct besitzen, also in zwei 
Gerade zerfallen. Daher liegen die Berührungspuncte der einen Be- 
rührungscurve mit denen der andern auf zwei durch den Doppelpunct 
gehenden Geraden; die Gleichung v*— f — 0 muss für beide dieselben 
Wurzeln liefern, d. h. die beiden v kónnen sich nur durch das Vor- 
zeichen unterscheiden. Zwei solche Lösungen führen also auf dieselbe 
Transformation von f. > 
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Gruppirung der Lösungen des vorgelegten Problems, wenn eine derselben 
gegeben ist. Lösungen erster und zweiter Classe. Hülfsproblem. 
Um die verschiedenen Lösungen der Aufgabe, die Function f in 
der Form «'— u? zu bringen, untersuchen zu können, nehme ich an, 
eine dieser Transformationen ‘sei bekannt, die Function f also schon in 
der Form v/— u? gegeben, und es handle sich darum, sie auf andere 
Weise in dieselbe Form, v?— wu” zu bringen. Man hat dann identisch 
die Gleichung zu erfüllen : 
v? — u” — v. s, 
Diese Gleichung kann man auch in der Form schreiben: 
vou t ol Wu, 
oder endlich 
(r4- v) (c — v) = (u—w) (u— ew) (u — u), 
wo e eine imaginäre dritte Wurzel der Einheit ist. 
Man bemerkt sofort, dass diese Gleichung auf zwei ganz verschie- 
dene Arten erfüllt werden kann, und dass also alle übrigen Lösungen 
der Aufgabe sich in Bezug auf eine derselben in zwei Gruppen sondern. 
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