26 A. CLEBSCH, 
Unter den vorstehenden Formen findet man 
5 Invarianten, darunter eine alternirende (gauche), 
4 lineare Formen, darunter zwei alternirende, 
3 quadratische Formen, darunter eine alternirende, 
3 cubische Formen, darunter zwei alternirende. 
Da die Producte und Quadrate alternirender Formen immer durch 
directe Formen ausdrückbar sind, so hat also jede Form des Systems 
die Gestalt 
A+ Bw + C9 -- Dp 4- Er 4- F+ GM, 
wo A, B, C, D, E, F, G ganze Functionen von v, u, T, p, s und den vier 
directen Invarianten sind. Unter den Ausdrücken, welche die Quadrate 
und Producte alternirender Covarianten annehmen, hebe ich folgende 
hervor, welche weiterhin benutzt werden: 
P = — 4 Au—2uvp + ur) 
E do = (tvp — Tu — t? Au) 
: ; I? = 4(tpu + vu Au — Tv Au) 
p = vs—4Tp. 
Ausserdem gibt es noch eine grosse Anzahl von Formeln, in welchen 
lineare Verbindungen der alternirenden Formen gleich Null gefunden 
werden, in deren Coefficienten nur directe Formen auftreten. Von sol- 
chen Formeln bemerke ich die folgende: 
1h 2. TÈ — uw — vp. 
Endlich hebe ich noch folgende zwischen directen Formen statt- 
findende Gleichungen hervor: 
us = v Åu, pp mem p (u Au: —T Auu) RE 
a o. Ts = v Ar, pp — p (u Ar — TA) 
" qp 4 (Auu Ar — A’ur) 
II. 
Alle diese Formeln sind entweder bekannt, oder so leicht zu be- 
weisen, dass ich den Beweis hier übergehen kann. 
