56 A. CLEBSCH, 
Systeme der Grössen f, m’; zu jedem gehören drei Paar von Ausdrücken 
T 
p, v, die aus einem derselben erhalten werden, wenn man p mit e oder 
s: 
v 
P. 
e°, und zugleich » mit e? oder s multiplicirt. Was nun das Letzte, so wie e. 
die Ersetzung von m durch em und e’m angeht, so sieht man, dass da- 
durch sich gar nicht ändert, und dass w nur in ew oder in ew über- 
geht. Für jedes der zwölf Systeme t, m? erhält man also nur zwei ver- 
schiedene Lösungen, insofern noch p, v mit einander vertauscht werden 
können; also würde man im Ganzen 24 Lösungen dieser Art erhalten. 
Aber eine genauere Untersuchung lehrt, dass je zwei derselben 
einander gleich sind, so dass in der That nur 12 verschiedene Lósungen E 
zweiter Classe existiren. 
Soll nämlich dieselbe Lösung zweiter Classe bei u, v nochmals auf- 
treten, wobei denn an Stelle der Grössen m, t, p, v andre Grössen m; een, 
eingeführt sein müssen, so müssen entweder die drei Factoren von VE s 
(11.) den entsprechenden der neuen Form, und ebenso die von v — v 
den entsprechenden in der neuen Form, bis auf constante Factoren gleich 
sein, oder es müssen die Factoren von v+v in der einen Form denen 
von v— v in der andern Form gleich sein. Da w in beiden Formen 
nur um eine dritte Wurzel der Einheit verschieden sein kann, so ist die 
Art, wie man die drei Factoren der einen Form denen der andern entsprechen 
lassen muss, bis auf eine cyclische Versetzung bestimmt; und diese 
wieder würde nur einer Vermehrung von m oder m, um einen Factor er 
e oder ° entsprechen, ‚was unerheblich ist. Man kann also in dem ES 
einen Falle die Gleichungen anschreiben : E 
pı — mt =a(p— mt) y, + met mt mut at) 
12) p, —€ m;t, =g (g—s mt) ins T -rem,*t, rmm Vm (ve mp-e”m”t) 
e? iig" i24 2 ec 2 
p, — Em t, =0 (y—s mt) — »,--em,p,--em, t, = penhe mp: m°t) 
13 0.5 UU N ee u Cue 
ER Us 4—m?" 
im zweiten Falle die Gleichungen : 
