60 A. CLEBSCH, 
Problems 7., welche auf dieselbe Lósung zweiter Classe führen, derselben 
Wurzel s der biquadratischen Gleichung zugeordnet sind. 
Die drei Lösungen des Problems 7., welche aus der einer Wurzel c der 
biquadratischen Gleichung zugehórigen cubischen Gleichung 52. entsprin- 
gen, führen also auf 6 Lósungen zweiter Classe, welche aber paarweise 
gleich sind, und also nur drei von einander verschiedene bilden. Ver- 
gleicht man die vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung mit den vier Wen- 
depunctsdreiecken einer Curve dritter Ordnung, die Lösungen der cubischen Glei- 
chung 52. mit den Seiten eines Wendepunctsdreiecks, so muss man die zwölf Lö- 
sungen zweiter Classe mit den zwölf Ecken der Wendepunctsdreiecke vergleichen. 
Dieselben bilden vier Gruppen zu drei; von solchen drei ist jede zwei Lósun- 
gen des Problems 7. in gleicher Weise zugeordnet, entsprechend einer Ecke 
eines Wendepunctsdreiecks, welche zu dessen in ihr zusammenstossenden 
Seiten in der gleichen Beziehung steht. 
E do 
Gruppirung der Lösungen, wenn eine andere Lösung u, v zu Grunde, gelegt 
wird. Quadrupel. 
Wir haben bis jetzt ausschliesslich die Gruppirung der Wurzeln der 
Gleichung, auf welche unser Problem führt, untersucht, insofern alle 
übrigen Wurzeln einer gegebenen gegenüber sich verschieden verhielten. 
Wir haben gesehen, dass 39 andre Wurzeln existiren, so dass also die 
ursprüngliche Gleichung vom vierzigsten Grade sein muss. Die 39 Wur- 
zeln bilden zwei getrennte Gruppen, 27 Wurzeln erster, 12 Wurzeln 
zweiter Classe. Die 27 Wurzeln erster Classe bilden neun Tripel, die 
durch eine Hessesche Gleichung gefunden werden; die Wurzeln eines 
solchen Tripels vorausgesetzt, ordnen sich die jedes der übrigen acht 
Tripel denselben eindeutig zu. Die neun Tripel bilden zwölf conjugirte 
Systeme zu dreien, welche wieder vier Gruppen zu drei bilden, den 
Wendepunctsseiten einer Curve dritter Ordnung analog. Die 12 Ló- 
sungen zweiter Classe bilden ebenso vier Gruppen zu drei, analog den 
Ecken der Wendepunctsdreiecke. 
