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De la longueur d'une ligne; par le lieutenant E. Goedseels, 
répéliteur à l'École militaire de Belgique. 
fiapport de M, P. Mansion, 
« La note que j'ai l'honneur de présenter à la Classe 
avait été primitivement destinée à Mathesis par son auteur. 
Bulletins de l’Académie, à cause des difficultés que pré- 
sente la question qui y est traitée par M. Sr d'uve 
manière simple, rigoureuse el complète. 
En 1843, comme on le sait, M. Catalan a fait observer, 
dans ses Éléments de Géométrie, qu’on ne peut avoir une 
idée précise des grandeurs géométriques, longueur, aire, 
volume, relatives aux lignes et aux surfaces courbes, à 
moins d'introduire, dans leur définition même, la notion 
de limite (”). Pour lui, par exemple, l'aire d’une courbe | 
plane est la limite de l'aire d'un polygone variabk, 
inscrit à la courbe et dont les côtés diminuent indéfini- 
ment de manière à devenir moindres que toute grandeur 
donnée. Il définit d’une manière analogue les longueurs 
des lignes courbes, les aires des surfaces courbes et les 
volumes compris sous ces surfaces. 
Quand il s’agit des aires planes, on démontre assez 
facilement que la limite de l'aire du polygone variable | 
inscrit à la courbe est toujours la même, quelle que soit 
la manière dont ses côtés décroissent indéfiniment. Ainsi, 
pour fixer les idées, supposons que la courbe considérée | 
ail pour équation, en coordonnées rectangulaires, y— x, 4 
9x élant une fonction positive, continue, ayant une seule 
valeur pour chaque valeur de x. L’aire de la figure com- . 
() Comparer PEyrann, Préface de la eq des OEuvres : 
d'Archiméde. 
: 
Il m'a semblé qu’elle serait mieux à sa place dans les 
