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prise entre l'axe des x, les ordonnées Yxs, YX correspon- 
dant à r, et X, est la limite de l'aire du polygone inserit 
variable dont les sommets ont pour abeisses équidifférentes 
Los Lis Ta,..,, — X, aussi bien dans le cas où » prend les 
valeurs successives 2, 4, 8, 16,... (puissances successives 
de 2), que dans celui où n = 5, 5, 7, 11, 15, (nombres 
premiers impairs). On observera que, dans ce dernier cas, 
les polygones inscrits successifs n’ont jamais de sormets 
communs. 
Mais quand on veut traiter la question analogue relative 
à la longueur des lignes courbes, on rencontre des diffi- 
cultés inattendues. Dans le cas où les polygones inscrits 
_ successifs, pour un certain mode défini de décroissement 
de leurs côtés, ont des sommets qui ne sont pas conservés 
dans les polygones considérés ultérieurement, on ne voit 
pas d’abord comment on peut prouver que le périmètre 
variable a une limite et que cette limite est la même pour 
un autre périmètre variable. 
La plupart des auteurs ont esquivé la difficulté en ne 
considérant que des courbes ayant, en chaque point, une 
tangente, et telles que cette tangente s’infléchit d’une 
manière continue quand on passe d’une extrémité de l’are 
à l’autre. Dans ce cas, on ramène aisément la rectification 
des courbes planes ou ganches à la quadrature d’autres 
courbes et la question peut être regardée comme résolue. 
Il y a quelques années, SCHEEFFER a essayé de s'affranchir 
_ de la restriction relative à l'existence d’une tangente à 
inflexion continue d’un bout de la courbe à l’autre. Il à 
démontré que, si la fonction qui représente l’ordonnée de 
la courbe plane est continue et si la somme de ses oscilla- 
tions est finie, les périmètres de tous les polygones 
variables inscrits à côtés indéfiniment décroissants ont 
une limile unique et finie, pourvu, toutefois, que chaque 
