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V. — Soient X, Y, Z les sommes arithmétiques des 
projections orthogonales des côtés d’un polygone inscrit 
ACD … B respectivement sur les axes des x, des y et des z. 
Le périmètre du polygone est supérieur à X, à Y, à Z, et 
inférieur à X + Y + Z; donc pour que ce périmètre ait 
une limite finie, il faut et il suffit que X, Y, Z ne croissent 
pas indéfiniment. Cela arrivera notamment : 
1° Lorsque le nombre des valeurs maxima, et le nombre 
des valeurs minima de x, de y et de z dans l'intervalle (a, b) 
est fini. 
En effet, désignons dans ce cas par M la somme des 
valeurs maxima de x, de y et de z; par m la somme de 
leurs valeurs minima ; et par s la somme arithmétique des 
différences F(a) — F (b), f(a) — f (b}, g(a) — ?(b). 
On aura 
X+Y+2<M—-m+s, 
et, par suite, 
périmètre ACD ... B < M — m +5. 
2 Lorsque, pour toute valeur de t de l'intervalle (a, b), 
les fonctions F(1), /(1), @ (1) ont chacune une dérivée infé- 
rienre, en valeur absolue, à une quantité finie G. 
En effet, les projections 2, k, ! d’une corde quelconque MN 
sur les trois axes coordonnés, satisfont aux relations 
suivantes, Où /4, la, l4 désignent des valeurs de { convena- 
blement choisies, entre les valeurs 4” et 4” de { correspon- 
dant aux extrémités de MN. 
h=(t"—1)F (4) <(E—01)6, 
k=(t"—#)f' (0) < (0 —0)G 
L=(—r)p (ls) < (7 — 7) G. 
