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Sur un cas particulier de la formule du binôme; 
par E. Catalan, associé de l'Académie. 
Soit 
S, = 1 + Cr + Cine + eee + Conan 1%" 
la somme Li n premiers termes du développement 
de (1 — x} ?, p étant un nombre entier; soil R, le reste 
correspondant. 
On trouve, assez facilement : 
({ —xÿ"S,+ [C4 Cite (l —X)+ + Gns(t-xy*| x" 
A — x" (A) 
1—x° 
(x, = [Cu + Cnen (12) ee Cp m2) Te (8 
a 
— 
—" 
Remarques. — 1° La relation (A), que nous croyons 
nouvelle, ramène le calcul de Sn à celui d’un polynôme 
composé de p — 1 termes : Si n est beaucoup plus grand 
que p, le second caleul sera bien plus simple que le premier; 
2% L’équation 
Lx 
rs —[ Cun+Cosnn (x) et Cyan (1x ]r"= 
‘& p — 1 racines égales à 1; 
3° Le reste R, est le produit de la fonelion proposée, 
({ — x) ?, par un polynôme entier. 
