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Rapport de M. P. Mansion, second commissaire, 
« Dans son premier mémoire, M. Beaupain a réduit un 
certain nombre d'intégrales trigonométriques aux inté- 
grales algébriques suivantes : 
+1 
a= f x? (1 + x) dx, 
ù 
1 s 
if at — x) (1 + x) dx, 
ù 
fa) (Aa) —(a) (+, 
Dans le travail actuel, il parvient à exprimer, dans 
certains cas, les intégrales A, B, C, au moyen de la fonc- 
tion gamma, en cherchant directement la valeur des 
intégrales trigonométriques dont nous venons de parler. 
Pour cela il développe, au moyen de la formule connue, 
les sinus ou cosinus d’un multiple entier d’un angle o, en 
fonction des puissances de sin ® et de cos 9; il multiplie 
les deux membres de la formule obtenue par sin” cos° ?, 
intègre entre les limites 0 et 4 x et observe alors que le 
second membre est une somme de fonctions eulériennes de 
première espèce. 
Nous n’avons pu vérifier en détail les calculs assez labo- 
rieux de M. Beaupain; mais la méthode ingénieuse que 
nous venons d’esquisser est légitime, et l’on comprend 
à priori qu’elle doive permettre de réduire un assez grand 
nombre d'intégrales définies à la fonction gamma. D'ailleurs, 
