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les quantités contragrédientes de (x4) seront 
P,P,...P,P, | 
D —= & . 
, pr ips ts. 
D'après ce qui précède, les produits préparés x, se 
transforment par la substitution T, , de la même manière 
que les quantités contragrédientes w,, par la substitution T. 
Pour une même substitution T, les quantités contra- 
grédientes (4) et (r;) se transforment selon des modules 
contraires. En conséquence, on est conduit au théorème 
suivant : 
Deux substitutions contraires effectuées sur les variables, 
déterminent deux substitutions contraires pour les produits 
préparés formés au moyen des éléments x, &, a, à, b, be 
Supposons en particulier que les produits préparés 
contiennent seulement, et à la première puissance, les 
coefficients a d’une forme f : nous retrouvons ce théorème 
de M. SYLVESTER : 
Deux substilutions contraires effectuées sur les variables 
d’une forme préparée induisent deux substitutions con- 
traires sur les coefficients (”). 
(*) American Journal of Mathematics, 1. 1. 
On sait que M. Sylvester a désigné sous le nom de forme préparée, 
une forme dans laquelle les nombres polynomiaux sont remplacés 
par leurs racines carrées. Nous avons cru devoir employer la déno- 
imination de produits préparés, parce que les facteurs numériques 
introduits ne dépendent pas seulement des coefficients considérés 
isolément, mais aussi de la manière dont ils sont groupés en produits. 
