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5. Pour trouver l'equation differentielle des lignes 

 asymptotiques, remarquons d'abord que les equations (4) 

 subsistent quand on y considere a el (3 comme des fonc- 

 tions d'un meme parametre, pourvu que la condition (5) 

 soit remplie. 



On tire, des formules (4) : 



«'ch = F'(z)dp -+■ p¥"(z)dz, 



p'dx = F'{z)dq -+- q¥"(z)dz. 



Et comme l'expression 



dpdx -+• dqdy 



doit etre nulle pour tous les points d'une meme ligne 

 asymptotique, on doit avoir aussi, tout le long d'une telle 



ligne : 



(a'dx + p'dy)d\ = ¥"{z)dz* .... (6) 



Mais, de l'equation (5), on deduit 



a'dx + p'dy+{<x"x-hp"y)d\ = 0. ... (7) 



L'equation (6) devienl : 



(«"x -*- p'y) d\* -h ¥"(z)dz i = 0. . . . (8) 



r 



Eliminant x et y entre les equations (3), (5) et (8), on 



trouve : 



al'df p'dx* F"(z)dz 



i 



a 



P ¥{z) =0 



la' p 



ou 



d'ou 



W — «'P)F"(«) dz* — (a"(3' — a'£')F(z)di* — 0; 



v F(z) V a(3 '__ a 'p 



