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nimmt, und überhaupt der Gleichung I genügt. Erst da, wo diese 



e 



Gleichung ein reelles y versagt, nehmlich jenseits x = ye, hört auch 

 der Potenzausdruck zu convergiren auf. 

 Von den beiden Functionen 



Lim. X und Lim. x 



2n 2n+l 



kann man die erste allgemein bezeichnen als die kleinste reelle Wurzel 



der Gleichung V: die andere ist grösste Wurzel dieser Gleichung für 



X < 1 , aber kleinste Wurzel für x > 1. Diese beiden Functionen 



fallen, wie man sieht, in dem grössten Theil ihres reellen Verlaufes, 



1 

 zwischen x = ]/e , und x = — , unter sich und mit der Wurzel y der 



Gleichung 1 (und zwar der kleineren , wo diese Gleichung zwei Lösungen 

 darbietet) zusammen; von der bezeichneten Stelle bis zu x = o hat aber 

 jede von den dreien ihre besondere Fortsetzung, die ohne Unter- 

 brechung der Continuität sich an den allen gemeinsamen Theil an- 

 schliesst. 



Die Reihe, welche Eisenstein mit Hilfe unserer (xleichung I abge- 

 leitet hat, convergirt seiner Untersuchung nach innerhalb der Strecke 



X = — — bis X = |/e, die, wie man sieht, nach unten nicht so weit, 



l^e 



nach oben nur ebenso weit reicht, als diejenige, m welcher der unend- 

 liche Potenzausdruck der nehmlichen Gleichung genug thut. Für den 

 Umfang des reellen Gebietes, in welchem die beiden unendlichen Aus- 

 drücke dieselbe Function darstellen , setzt also lediglich die Bedingung 

 der Convergenz der Reihe den Markstein. 



