und hiermit ergibt sich denn für das dem eben gefundenen v conjugirte 

 u die Gleichung : 



VIII. log u = — = — 



1 — e— * e—"^ — 1 



Die letztere B^orm dieses Ausdrucks lässt erkennen (was auch 

 direct aus Gl. VI zu lesen ist), dass u und v ihre Rollen tauschen, wenn 

 & sein Zeichen wechselt. Will man, wie gleich Anfangs angenommen 

 wurde , immer mit v den grösseren der beiden zusammengehörigen 

 Werthe benennen, so hat man f) immer positiv zu denken. 



Natürlich ergibt sich nun aus VI auch x durch <9-: am elegantesten 

 ausgedrückt mittelst hyperbolischer Functionen wie folgt: 



TV 7 1 (1 u 1 A -^*. colgrbyp Y# 



lA. log X = — - ./ cosec nyp. - d- . e 



Man überzeugt sich leicht, dass jede der drei Grössen v, u, x 

 immer in Einerlei Sinn sich verändert, während «9- alle positiven Werthe, 

 von 00 bis zu Null herab, durchläuft, — und zwar nimmt v zugleich 

 mit i9- fortwährend ab, indess u und x zunehmen. An den Differential- 

 Coefficienten von log v und log u wird dies sofort erkannt, indem man 

 den Ausdruck e* durch die Reihe ersetzt; was x betrifft, so findet sich 



d log log - 



'' "^ X 1 » 



^^ ^ (2 Sin hyb. i f>Y 



9- _ * 



_ (e'' — e~^ )^ — ^2 



,9- (e^_ e ^)' 



nothwendig positiv für positive 3-. Die extremen Werthe, zwischen 

 welchen sich dabei die drei Grössen bewegen , sind folgende : 



für i9-=Q0... v=l, u = o, x=o 



fur.'^ = 0.. v = -, u— -, x = — 



e ' e ' e« 



Jedes X zwischen o und — wird also Einmal, und nur Einmal 



e" 



