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so suchte Wallis^) die Richtigkeit desselben zu verweisen und gab hiezu 

 das Theorem, dass, wenn a irgend eine ganze positive Zahl ist, das 

 Product der zwei Kettenbrüche 



a— 1+12 xa + l+l2 



•2(a— 1) + 3- 2(a+l) + 5- 



2(a— 1) + 5- 2(a+l) + 5^ 



2(a— l)-fetc. 2(a+l) + etc. 



= a'- ist. 



Setzt man nämlich in diesem Producte für a nach und nach die 

 Zahlen 2 , 4 , 6 . . . so ergibt sich aus diesem Theorem mit Hülfe der 

 Wallis'schen Formel für n sogleich der von Brounker gegebene Werth 

 obigen Kettenbruchs. Wallis gibt jedoch keine Herleitung seines Theorems 

 sondern beschränkt sich darauf zu zeigen, dass das Product sich um 

 so mehr dem Werthe d? nähere, je mehr Glieder der Kettenbrüche in 

 Rechnung gezogen werden. 



Der Beweis dieses Theorems hat Euler viel beschäftigt. ,, Viele 

 Zeit, sagt er, habe ich darauf vergebens verwandt, aber je schwieriger 

 die Sache schien , um so mehr Nutzen hoffte ich von der Lösung zu 

 ziehen." Nachdem er schon in seiner ersten Abhandlung^) über Ketten- 

 brüche dieses Theorem kurz berührt hatte, macht er es in einer zweiten 

 Abhandlung^) zum Hauptgegenstand der Untersuchung und es gelingt 

 ihm nach langem Umschweif, mit Hülfe von Integralen und Relationen 

 zwischen denselben, die er in einer vorhergehenden Abhandlung gegeben, 

 ein allgemeineres Theorem über das Product zweier Kettenbrüche auf- 

 zustellen, welche das Wallis'sche in sich begreift. In einer späteren 

 Abhandlung*) kommt er nochmals auf dieses Theorem zurück, um eine 

 einfachere Lösung speciell für die Wallis'schen Kettenbrüche zugeben. 



Ich kann nicht finden, dass Andere sich seitdem mit diesem Theorem 

 befasst haben; es lässt aber, wie ich hier zeigen werde, einen höchst 

 einfachen Beweis zu, indem man einen dritten Kettenbruch zu Hülfe 



1) Arithmetica Infinitorum. Prop. CXCI. 



2) De fractionibus cont. Comment. Ac. Petrop. T. IX. 



3) De fractionibus cont. observationes. Comment. Ac. Petrop. T. XL 



4) De fractionibus cont. Wallisii. Mem. de l'Ac. d. Sc. de St. Petersbourg T. V. pag. 24. 



