In Bezug auf späteres sei hier bemerkt, dass, wenn allgemein 



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Nr. 3. 



Sind die Kettenbrüche S und S' convergent, was immer der Fall 

 sein wird, wenn die a positiv und mit dem Index steigend sind, so 

 wird der Kettenbruch 8) bei wachsendem r nach derselben Grenze 

 convergiren, wie der Kettenbruch 9). 



Qr 



der r*® Näherungsbruch eines convergenten Kettenbruches A) ist, und 

 -T^ das was -~^ wird, wenn der letzte Theilnenner a,.: , durch aj., i+« 



Qr+l Qr+l 



ersetzt wird, 



P^_IVH ^ (Pr+lQ.— PrQr+ l)£ 



Q;+1 Qr+l Qr+i(Qr-|_i4-£Qr) 



gefunden wird. Ist mithin « positiv und sind die Theilzähler und 

 Theilnenner sämmtlich positiv, mithin auch die P^ und Q^, so ist diese 



Differenz numerisch <-w^ — 7^ und es convergiren also 7^^ und -^^^ 



mit wachsendem r nach derselben Grenze. 



Wäre £ negativ, aber numerisch <a,.^.i, so dass a^^^i+e noch positiv 



bliebe, so wäre — '—— — e' eine positive Grösse; der Theilnenner a^ 



wäre in ß, + e' übergegangen und wir würden wie vorhin schliessen, 

 dass hiedurch die Convergenz des Bruches und die Grenze, nach welcher 

 r convergirt, nicht geändert wird. 



Enthält aber der Kettenbruch negative Theilbrüche, so sind im 

 Allgemeinen diese Schlüsse nicht mehr gültig und müsste man sich 

 dann in jedem Falle durch besondere Untersuchung vergewissern, ob 

 durch das Hinzutreten von e im letzten Theilnenner die Convergenz des 

 Bruches nicht geändert wird. 



Nr. 4. 



Unter dem so eben gemachten Vorbehalt ergibt sich nun aus 

 Gleichung 8) für r = 00 



