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S- = "'.^ + " . 13) 



Aus dieser Relation fliessen die Eigenthümlichkeiten des Bruches S 

 für bestimmte Werthe der Grössen a. 



Ist in dem einfachsten Falle «j = i, so geht S über in 



S'"> = - 



1 + n+l 



2 4- etc 



und S' in S<"+^\ Diess ist der Bruch, welchen Euler in der oben 

 angeführten Abhandlung^) behandelt, unter der Voraussetzung, dass n 

 eine ganze positive Zahl ist. Er findet die Relation 13) durch Induction. 

 Ist n =1, so gibt dieselbe S'-^= 1 und hieraus folgt, dass S'°* überhaupt, 

 sobald n eine ganze positive Zahl >1 ist, eine rationale Zahl ist, die 

 sich durch successive Substitution aus 13) berechnen lässt. Ist n eine 

 negative ganze Zahl, so ist diess selbstverständlich, indem in diesem 

 Falle der Kettenbruch abbricht; immer aber gilt auch in diesem Falle 

 die Relation 13). Der Fall n = 1 macht, wie oben erwähnt, eine Aus- 

 nahme, insoferne als sich der Werth von S*^' nicht aus der Relation 

 entnehmen lässt, und gibt die Gleichung 10) in diesem Falle für S*^* den 

 irrationalen Werth 



1 — e ' e — 1 



wo e die Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet. 

 Setzt man ferner 



' - 1 4-n-2 



•2 + etc. 



so besteht vermöge der Gleichung 12) dieselbe Relation zwischen s'°* und 

 s"'+'>, welche zwischen S'°^ und S'°+'* besteht. Da nun s<^^ = 1 = S^% so 

 folgt weiter, dass überhaupt für jede ganze positive Zahl n (n = 1 aus- 

 genommen) 



1) Mem. de l'Acad. de St. Petersbourg. T. IV. 



