Wenn die gehegte Vermuthung zur Wahrheit werden soll, so muss 

 sich ein Kegelschnitt auffinden lassen , in Rücksicht auf welchen , als 

 Direktrix genommen, Kreise mit gemeinschaftlicher Secante als reciproke 

 Figuren confocalen Kegelschnitten entsprechen. Findet sich wirklich 

 eine .solche Direktrix, so werden sich nicht allein die beiden hervor- 

 gehobenen Sätze als reciproke Sätze darstellen , sondern noch eine 

 grosse Zahl anderer Sätze. Man wird sogar in der Lage sein, aus den 

 bekannten Sätzen über Kreise mit gemeinschaftlicher Secante etwa noch 

 unbekannte Sätze über confocale Kegelschnitte zu entdecken, wie um- 

 gekehrt. 



Wir werden nachweisen, dass der Kreis die gesuchte Direktrix ist. 



Da bei dieser Gelegenheit neben der Direktrix noch verschiedene 

 andere Kreise auftreten, so wird es sich empfehlen, denjenigen Kreis 

 mit beliebigem Radius, welcher als Direktrix gewählt werden soll, zum 

 Unterschiede von anderen Kreisen immer nur mit dem Namen der Direktrix 

 zu b' zeichnen und seinen Radius als die Längeneinheit zu nehmen. 

 Wenn wir alsdann den Mittelpunkt e der Direktrix als den Anfangs- 

 punkt des rechtwinkligen Coordinatensystemes wählen, auf welches sich 

 unsere Gleichungen beziehen sollen , so haben wir die Gleichung der 

 Direktrix in homogenen Punktcoordinaten: 



1) ... x'-^ + y2 _ z2 = o, 



und wenn wir die Coordinaten irgend eines Poles mit x, y, z und 

 die Coordinaten seiner Polare mit u, v, w bezeichnen, so haben wir 

 nach 20) der siebenzehnten Vorlesung*) zwischen ihnen die Relationen: 



2)... x = u,x = v,z = — w. 



Die Gleichung irgend eines Kreises 



3) . . . x'2 + y2 + (ax + by + cz) z = o 



*) Die Citate beziehen sich auf meine „Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der 

 geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene", Leipzig, Teubner 1873, 

 und auf die Fortsetzung derselben betitelt: ,, Sieben Vorlesungen aus der analytischen 

 Geometrie der Kegelschnitte", Leipzig, Teubner 1874. 



