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Es sind daher der Grenzpunkt e und jeder beliebige Punkt auf 



der geraden Linie hh harmonische Pole für das ganze System von 



Kreisen mit gemeinschaftlicher Secante. Es folgt daraus aber noch, 



dass die Schnittpunkte h , h der gleich bezeichneten geraden Linie mit 



dem Kreise Q die Berührungspunkte der von dem Grenzpunkte e an 



den Kreis gezogenen Tangenten sind. Für die Direktrix wird diese 



gerade Linie hh die Polare des Halbirungspunktes M der geraden Linie 



ee, welcher Punkt zugleich Mittelpunkt aller confocalen Kegelschnittte 



« 2 . 



9'") ist, weil eM = —r- und eo = --— . Da nun die Polaren aller Punkte 



^ ' 2 a 



auf der geraden Linie hh, rücksichtlich der Direktrix D, durch den 

 Punkt M gehen und die Polaren der Schnittpunkte h h Tangenten der 

 Hyperbel H werden, so sieht man, dass die Polaren der Punkte h , h, 

 rücksichtlich der Direktrix D, die Asymptoten der Hyperbel H sind. Es 

 wird ferner der Kreis Q durch seine Polare h h des Punktes e in zwei 

 Theile getheilt. Die Polaren aller Punkte des einen Theiles, rücksichtlich 

 der Direktrix, werden Tangenten des einen Zweiges der Hyperbel HH, 

 die den Punkten des andern Theiles entsprechenden Polaren berühren 

 den andern Zweig der Hyperbel. 



Die reciproke Polare des Kreises K auf der linken Seite der gemein- 

 schaftlichen Secante SS wurde in der Figur als die Ellipse E aufgeführt, 

 die dem Kreise Q auf der andern Seite der gemeinschaftlichen Secante 

 entsprechende reciproke Polare wurde als die Hyperbel HH bezeichnet. 

 Dieses wird seine Rechtfertigung finden , wenn wir auf die Natur der 

 Kreise 9) und ihrer recij)roken Polaren 9*) näher eingehen. 



Wir entnehmen aus der Gleichung 9) den Abstand A des Mittel- 

 punktes des durch die Gleichung ausgedrückten Kreises und seinen 

 Radius R: 



11) 



a „ / « N 2 1 



Aus diesen Gleichungen ist ersichtlich, dass mit wachsendem Werthe 

 von /. von o bis + oo sowohl die Entfernungen A der Mittelpunkte 

 der Kreise 9} von dem Grenzpunkte e als auch die Radien R von oo bis o 



