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18) ... Wenn irgend ein Kegelschnitt als Direktrix 

 gegeben ist und in Beziehung auf denselben zwei andere 

 Kegelschnitte als reciproke Polaren vorliegen, so sind die 

 Polaren von zwei harmonischen Polen des einen Kegel- 

 schnittes, rücksichtlich der Direktrix, für den anderen 

 Kegelschnitt harmonische Polaren, und umgekehrt sind 

 die Pole von zwei harmonischen Polaren des einen Kegel- 

 schnittes, rücksichtlich der Direktrix, harmonische Pole 

 des anderen Kegelschnittes. 



Stellen wir uns, um den Satz zu beweisen, zwei Kegelschnitte vor, 

 welche reciproke Polaren sein sollen, und für den einen Kegelschnitt 

 liege ein harmonisches Polepaar a , ä vor. Alsdann schneidet die Ver- 

 bindungslinie der Pole den betreffenden Kegelschnitt in einem Punkte- 

 paare b , b', welches harmonisch mit dem Polepaar ist. Diese beiden 

 Punktepaare entsprechen in der Direktrix Polaren paaren A , A' und 

 B , B', welche nach dem Satze 18) der neunzehnten Vorlesung harmonisch 

 zu einander sind. Da nun B und B' Tangenten des reciproken Kegel- 

 schnittes und A und A' harmonisch zu ihnen sind, so sind B und B' 

 nach der Definition harmonische Polaren des reciproken Kegelschnittes. 



Auf Grund von 1 3) der sechszehnten Vorlesung stellt die Gleichung 

 f — Xcp = o jeden beliebigen Kegelschnitt dar, welcher durch die 

 Schnittpunkte irgend zweier gegebenen Kegelschnitte f = o und (f — o 

 geht. Die Bedingung, dass zwei durch ihre Coordinaten Xq , y^ , z^ und 

 X 1 5 Ji 5 ^1 gegebenen Punkte harmonische Pole des beliebigen Kegel- 

 schnittes seien, wird nach 5} und 9) der siebenzehnten Vorlesung durch 

 die Gleichung f^Q — IcpQ-^ — o ausgedrückt. Da diese Gleichung aber 

 erfüllt wird, wenn fQ^ = o und r/i^^ = o ist, so können wir, indem 

 wir uns die geometrische Bedeutung der beiden letzten Gleichungen 

 vergegenwärtigen, die reciproken Sätze aussprechen: 



19) ... Wenn zwei Punkte harmonische Pole sind für 

 irgend zwei gegebene Kegelschnitte, so sind sie auch har- 

 monische Pole für jeden Kegelschnitt, der durch die vier 

 Schnittpunkte der gegebenen Kegelschnitte geht. 



