20) ... Wenn zwei gerade Linien harmonische Polaren 

 sind für irgend zwei gegebene Kegelschnitte, so sind sie 

 auch harmonische Polaren für jeden Kegelschnitt, welcher 

 die vier gemeinschaftlichen Tangenten der gegebenen 

 Kegelschnitte berührt, 



'O 



Aus dem ersten dieser beiden Sätze ergiebt sich , dass jeder 

 beliebig gegebene Punkt seinen harmonischen Pol aufzuweisen hat in 

 dem Systeme von Kegelschnitten , welche durch dieselben vier Punkte 

 gehen. Denn construtrt man die Polaren des gegebenen Punktes für 

 zwei dieser Kegelschnitte , so wird der Schnittpunkt derselben der 

 gesuchte harmonische Pol sein. Ebenso hat eine jede gerade Linie 

 ihre harmonische Polare in dem Systeme Kegelschnitte, welche vier 

 gerade Linien berühren. Sie ist die Verbindungslinie der Pole der 

 geraden Linie für irgend zwei der genannten Kegelschnitte. 



Die vorstehenden allgemeinen Sätze wollen wir nun verwerthen an 

 dem durch die Gleichung 9) ausgedrückten Systeme von Kreisen mit 

 gemeinschaftlicher Secante und dem Systeme der reciproken Polaren 9*). 



Zu diesem Zwecke nehmen wir an, es sei ein harmonisches Pole- 

 paar des Systemes 9) durch seine Coordinaten x^ ? Jo > ^o ^^^ ^i > Ji ? ^i 

 gegeben. Die Coordinaten ihrer Polaren rücksichtlich der Direktrix 

 werden alsdann auf Grund von 2): 



xo = Uo , yo = Vo , Zq = -Wo 



Xi = ui , yi = Vi , zi = -wi 



und diese Polaren bilden nach 18) ein Polarenpaar des Systemes 9*). 

 Da nun das genannte Polepaar auch ein Polepaar des Kreises 9) für l = oo 

 sein muss, so haben wir die Relation: 



XoXi + JoYi = o 



welche unter Vermittelung der angegebenen sechs Gleichungen über- 

 geht in : 



• UqUi + V.^Vi = o. 



