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man die wahren Werthe x , y , z . . . in ihnen substituiren könnte. 

 Zugleich sei vorausgesetzt, dass dem etwa verschiedenen Gewichte ver- 

 schiedener Beobachtungen in der Form, in welcher die Gleichungen 

 angeschrieben sind, bereits nach bekannter Vorschrift Rechnung getragen 

 sei, sodass man also a priori durchaus keinen Grund mehr habe, in der 

 Einen der Beobachtungsgleichungen einen grösseren Fehler (d. h. einen 

 grösseren absoluten Werth des Ausdruckes , der nach dieser Gleichung 

 Null sein müsste), zu erwarten, als in der anderen. 



Es sei ferner vorausgesetzt, dass gemäss der Anordnung der 

 Beobachtungen diejenigen Voraussetzungen zutreffend sind, oder doch 

 nach unserer Einsicht als zutreffend angesehen werden müssen , unter 

 welchen die Anwendung der ,, Methode der kleinsten Quadrate" rationell 

 begründet ist. Hienach wird das probabelste^) aller Systeme von 

 Werthen x , y , z , ... durch die Bedingung abgeleitet , dass seine 

 Substitution in die Beobachtungsgleichungen A) die Quadratsumme der 

 links sich ergebenden Zahlenwerthe möglichst klein macht. Wendet man, 

 wie in dieser Theorie gewöhnlich , die [ ] Klammer als Summen- 

 zeichen an, so dass z. B. 



'> 



[aa] = af + a? + ag + • • • 



[ab] = [ba] = a, b, + a, b, + ag bg -|- • • • 



(wo jede Summe sich über so viel Glieder ausdehnt, als Beobachtungen 

 vorhanden sind), so ist die Quadratsumme 



Q = [aa] x2 + [bb] y^ + [cc] z^ + • • • 



■ + 2 [ab] xy + 2 [ac] xz + 2[bc] yz + • • ■ 

 + 2 [an] X + 2 [bn] y + 2 [cn] z + • • • 



IJ Der Vorzug dieses probabelsten Systemes ist nicht etwa dadurch begründet, dass die 

 unendlich kleine Wahrscheinlichkeit, es werde genau richtig sein, ein grösseres 

 Unendlich-kleines ist, als für jedes andere System, — sondern dadurch, das die endliche 

 Wahrscheinlichkeit, es werden die wirklichen Werthe der Unbekannten von den voraus- 

 gesetzten nur innerhalb beliebig aufgestellter aber enger Schranken differiren, grösser ist 

 bei dem ausgezeichneten System, als die auf gleich enge Schranken bezügliche (ebenfalls 

 endliche) analoge Wahrscheinlichkeit bei jedem anders gewählten System Es scheint 

 dies nicht überall mit der erforderlichen Klarheit aufgefasst worden zu sein. 



