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Quelques théorèmes d’arithmétique; par E. Catalan (*), 
Associé de l'Académie. 
Tnu£on£wE I. (Théorème de Lionnet (**).) Soit 
S, — 1? -- 9? -- 9 +... +", 
p étant un nombre entier, plus grand que zéro. Si le nom- 
bre n, supérieur à p + 1, est premier, il divise $,. 
Tuéorème IH. Si n + 1 est un nombre premier, supé- 
rieur à p + 4, il divise S,. S 
"Tu£on£w III. Si n est un nombre premier, la quan- 
lité S, , est un multiple de n, diminué de l'unité. 
Tnu£on£wE IV. Si n est un nombre premier, supérieur à 2, 
et tel que n — 4 ne divise point p, S, est multiple de n. 
Taéorème V. Si n est un nombre premier, supérieur à 2, 
et tel que n — 1 divise p, S, est un multiple de n, diminué 
de l'unité. 
Tutorème VI. Soit n — a%b?c..., a, b, c, étant premiers, 
inégaux et impairs : 
1* Si aucun des nombres a — 1, b — 1, c — 1.. ne 
divise p, S, est divisible par n; 
2» Dans le cas contraire, S, n'est pas divisible par n. 
Tu£on£wE VII. Si n est un nombre premier, supérieur 
42, et tel que n — 1 ne divise point p + p', la quantité 
= 1* (n — 4" + 9*(n — 99 +... + (n — Aa" 
est multiple de n. 
(*) Cette Note, destinée au Bulletin, contient seulement les énoncés. Les 
gg seront imprimées ultérieurement. 
**) En 1842, M. Lionnet, alors Pr EH au soa Lonis Je ne 
E. dans le beeke volume des Nouve ques, 
le théorème auquel nous croyons devoir donner ! ] vénérable 
ancien Collégue. 
