( 472 ) 
De méme, 
RU' — UR' — w (x', y', Se u') w (x', y). 
Donc entin, 
2 (x', y, zv) 
TREI 
ce qu'il fallait démontrer. 
Dans le cas où x, y, z, u, v dépendent de plusieurs 
variables indépendantes ou paramétres, on peut établir, 
absolument de la méme maniére, des formules analogues 
sur les différentielles partielles, les différentielles totales 
ou les variations de ces fonctions. Il suffit de remplacer la 
caractéristique de la dérivation par d ou ò dans ce qui 
précéde. 
Des relations semblables subsistent aussi dans le cas de 
différences partielles ou totales; mais pour les établir 
aisément, il faut modifier légérement la démonstration en 
y introduisant au lieu des différences successives Av, A?x, 
A*x,... les valeurs successives x, yx, V3x, V5x,.… des 
fonctions (y — 1 + A). 
Rapport de M, De Tilly. 
« Je me rallie avec empressement aux conclusions du 
premier commissaire, et je me félicite de n'avoir pas admis 
sans critique la première rédaction présentée par l'auteur. 
M. Lagrange est rentré maintenant dans la voie du 
raisonnement rigoureux et son travail me parait apporter 
un perfectionnement notable à la théorie du développe- 
ment des fonctions en séries. » 
La Classe a adopté les propositions de ses commissaires. 
