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comme Abel, dans ses premiéres recherches, pourvu que 
l'on établisse d'une manière élémentaire le théorème sui- 
vant de Richelot : Toute expression réelle ou imaginaire 
À + pi peut se mettre sous la forme sn(a + fi). 
Si l'on pose sna = x, snp — y, il suffit, pour cela, de 
prouver que les courbes ayant pour équations 
X (4 + Ray) = x* (4 + y^) (1 + ky’) (4) 
(A + Jay? Ge y? (1 s a) (1 — kx’), (2) 
ont, au moins, un point réel d’intersection dont l’abcisse 
est inférieure à l'unité. 
Ajoutons les équations (1) (2); divisons l'équation résul- 
tante par (1 + k2x2y?); posons A? — 2? + p?, K2A2B2 — 1. 
Nous trouverons que l'une des équations précédentes peut 
étre remplacée par celle-ci 
A*— 
y— ea 
= B (1 ara) 
ape (5) 
Considérons uniquement les valeurs positives de x et 
de y et voyons ce que représentent les courbes ayant pour 
équations (3) et (2). 
Si A2 — B2, l'équation (3) est celle d'une horizontale 
AH ayant pour ordonnée A =V 2? + 2. Si A? < B2, la 
valeur de y décroit de A à O quand x croît de O à A et la 
courbe a à peu prés la forme AL. Enfin, si A? > B?, y croit 
de A à l'infini, quand x croit de O à B; dans ce cas, la 
courbe a la forme AK. 
Pour étudier la cotirbe (2), séparons l'une de l'autre les 
deux valeurs positives y,, y, de y. Posons 
(1 — x?) (4 — Fa ma Q? 
PE Qu 2 = — P, 
p A 
