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Nous remarquerons tout d'abord que parmi les six 
droites a, il n'en existe pas quatre appartenant à un méme 
systéme de génératrices d'une surface de second ordre, car 
s'il en était ainsi la surface X; serait décomposable. 
Les droites a;a,sa;a,; ont deux transversales communes 
956 9 se. Donc si nous combinons a, avec tous les autres 
groupes de trois a nous aurons les droites de la surface 
Ises J s6 5 Jas» 9 4e» EI, 
Les plaus ainsi obtenus seraient au nombre de vingt : 
il est visible, d'ailleurs, que s'il y en a moins, leur nombre 
doit diviser 20. 
Mais, dans le cas actuel, sur ajaga; s'appuieraient les 
droites 956, One Jae» 465 Isas sa. CC qui est impossible 
puisqu'alors l'hyperboloide ajaça; ferait partie de la surface. 
Ces six droites doivent se réduire à trois. Donc au lieu du 
nombre vingt nous aurons dix ou un de ses sous-multiples. 
Ce sous-multiple est évidemment supérieur à deux et il 
doit étre au plus égal à six. Donc c'est cinq. 
Par conséquent, par la droite a, on. peut mener cinq 
plans contenant chacune une des droites b. 
Soit b, la droite de ce groupe qui ne rencontre pas gu. 
Alors prenons a, qui rencontre forcément cinq droites b 
dont fait nécessairement partie by, Nous pouvons appeler 
b, la droite que a, ne rencontre pas. 
En continuant de la méme maniére, nous établirons que 
les six droites 
(4,03050,0506 
b,b,b,b,b,b, 
forment ce que l'on appelle un double-six de Schläfli. 
Nous pourrions évidemment partir de là pour établir 
l'existence des vingt-sept droites de la surface, mais c’est 
une étude que nous ne ferons pas aujourd'hui. 
l| nous faudra maintenant démontrer que le mode de 
