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La génération par faisceaux trilinéaires que j'ai fait 
connaitre ici méme et ailleurs permet de construire la 
surface de troisième espèce, c'est-à-dire ne possédant que 
sept droites réelles. 
Pour cela, je rappelle le théoréme fondamental qui 
résume le mode de construction. 
Si un tétraèdre se déforme de telle façon que trois de 
ses faces passent par trois droites fixes, tandis que la 
quatrième enveloppe une quadrique X4 inscrite à un angle 
trièdre dont les arêtes rencontrent les côtes de cette 
quatrième face, le sommet du tétraèdre, opposé à cette 
méme face, décrit une surface X; contenant les trois droites 
fixes et le sommet de l'angle trièdr'e. 
Il sera bien facile de voir qu'avec ce mode de généra- 
tion, la surface contient vingt-sept droites, c'est-à-dire 
est de la douzième classe. 
Elle appartient à la première espèce si la quadrique Xa 
est réglée et si l'hyperboloide qui a pour directrices les 
trois droites fixes données coupe la surface cubique sui- 
vant trois droites réelles. 
Elle appartient à la seconde espéce si parmi ces trois 
nouvelles droites il y en a deux imaginaires, ou bien si la 
quadrique X, n'est pas réglée et que les trois droites que 
nous venons de mentionner sont réelles. 
Enfin, si deux de ces droites sont imaginaires et que Xa 
ne soit pas réglée, elle appartient à la troisiéme espéce. 
Tous ces théorèmes se démontrent nement 
de la manière la plus simple. 
Ils résultent d’ailleurs immédiatement de ce fait que 
notre méthode permet de construire, à l'aide d'éléments 
réels, la surface cubique dont on se donne trois droites 
non situées dans un plan tritangent et sept points absolu- 
ment arbitraires. 
