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est ingénieuse et simple; mais elle a un défaut : elle intro- 
duit des éléments étrangers à la question. Or, il est très. 
facile de former, directement, l'équation (1). 
4. En effet, l’équation des lignes géodésiques : 
dx dy 
ob 
p e- 
devient d’abord, dans le cas où 
z= qe + y’) = flu) 
ds(ydx — xd’y) — ds(ydx — xdy) = 0, 
ou 
d’s _d(xdy — yds) 
ds xdy — ydx 
L'intégrale immédiate est 
kds = xdy — ydx; . 
ou, après transformation de coordonnées (°) : 
kds = u°de 
(4) 
(6) 
(7) 
(!) 
5. Au moyen des équations (1), (5), jointes à la formule 
‘évidente 
ds? = wda? + (1 + f*)du’; 
(8) 
le savant professeur de Nantes forme, sans s’y arrêter, la 
relation 
inf" 
de = © du /- ee . 
(9) 
(*) On sait que 
gdy — yds = ud, arcig* = y’ dw. 
