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La formule (1) deviendra 
P = P,P,P:. 6 5 LILI, “ . . . (2) 
si l'on suppose u, — log v,, S — log P, S, = log P,, 
2. = log I. 
Les formules (1) (2) une fois établies, on peut en déduire 
d'innombrables relations particulières, en donnant à u, ou 
v, des valeurs spéciales. Voici énumération des applica- 
tions principales contenues dans le mémoire de M. Cata- . 
lan, avec l'indication sommaire des résultats obtenus. La 
lettre q y représente la transcendante elliptique e- a 
supposée inférieure à l'unité. 
1° u,—g". La formule (1) donne 
2 
1 q q q 
taq g gt "1 A 
= F(q)+F(q°)+ F(q°)+ete.; 
F(g)=g+g+gq+g+ete. 
2 et 5 v, = 1— q" ou v,— 1+g". On déduit de (2), 
= A4 Ag Az., B' = By Ba Bs- les æ et les B désignant les 
produits indéfinis dont il est souvent question dans les 
Recherches de l’auteur. 
Æ u, = x" — x" + x” (0 <x<1). Après quelques trans- 
formations, il vient 
g x7 x—5 
Aire (A+x)(A+x+xt) X (1=+x) (1+ 2°) (1+x*+ x°) 
42-5 
x 
+ etc. 
wg (1x) (1+ x°) (1+ xt (1+ xt + x") 
