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Aristides Brezina. 



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Aus diesen drei Eigenschaften ergeben sich alle Regeln zur 

 Construction der stereographischen Projection. 



Zunächst sieht man sofort, dass die Normalenwinkel aller durch 

 Punkte des Grundkreises projicirten Flächen durch die zwischen den 

 Polen eingeschlossenen Kreisbögen gegeben sind; dass alle durch das 

 Oentrum des Grundkreises gehenden Zonen als Durchmesser projicirt 

 werden ; dass ferner der Pol einer solchen Zone wiederum in den Grund- 

 kreis fällt und zwar an einen der Endpunkte des zur Zone senkrechten 

 Durchmessers. 



Ist die Projection P eines 

 Poles gegeben (Fig. 9) und die 

 der parallelen Gegenfläche ge- 

 sucht, so ist zunächst klar, dass 

 dieselbe ausserhalb des Grund- 

 kreises gelegen sein muss ; legt 

 mau durch P und den Mittel- 

 punkt o des Grundkreises eine 

 Zone, so muss der Gegenpol P' 

 in derselben liegen, da ja eine 

 jede Zone, in der eine Fläche 

 gelegen ist, auch die zu dieser 

 Fläche parallele Gegenfläche 

 enthalten muss; auf dieser Zone 

 PO haben wir jetzt nur mehr 

 den um 180° von P abste- 

 henden Punkt aufzusuchen, um P' zu erhalten; zu diesem Behufe haben 

 wir nach der obenerwähnten dritten Eigenschaft der Projection von 

 einem der Punkte R oder Q, die nach dem früheren die Pole der Zone 

 PO darstellen, z. B. R, eine gerade RPp bis zum Durchschnitt mit dem 

 Grundkreis zu ziehen, suchen den Punkt p ' des Grundkreises auf, der um 

 180°, den verlangten Winkel, von p absteht, und ziehen nun eine Gerade, 

 Rp'P' deren Durchschnitt mit der Zone PO den Gegenpol von P gibt. 

 Sind zwei Pole PQ gegeben, Fig. 10, und die durch dieselbe 

 gehende Zone gesucht, so sucht man zu einer derselben den Gegenpol, 

 z. B. P' } der ja ebenfalls in der Zone PQ liegen muss; durch die drei 



Punkte PQP' legt man nach bekannter 

 Methode (Errichtung von Senkrechten in 

 den Halbirungspunkten der Verbindungs- 

 linien je zweier Punkte) einen Kreisbo- 

 gen, der die verlaugte Zone darstellt. 



Um den Pol einer gegebenen Zone 

 CR zu finden (Fig. 11) ist zu berücksich- 

 tigen, dass derselbe von jedem Punkte 

 des Zonenkreises um 90 9 abstehen muss; 

 sind nun C, D die Durchschnittspunkte 

 der Zone mit dem Grundkreise, so ziehen 

 wir den Dnrchmesser CD und einen zu 

 diesem senkrechten EF, und es ist klar, 

 dass der gesuchte Pol in der Zone EF 

 liegen muss; da er nun von jedem 



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