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mag, so hat es sich in Wahrheit doch als ein ungemein wichtiges und 

 folgenreiches erwiesen : denn es entspringt daraus sogleich der Begriff 

 von der gleichmässigen oder nicht gleichmässigen Convergenz der 

 Reihen. Unter der gleichmässigen Convergenz einer Reihe in einem 

 Intervall a < x < b ist verstanden, dass es eine endliche Gliederzahl N 

 der Reihe gibt, die für jeden dem Intervall angehörigen Werth x einen 

 Rest lässt, der kleiner ist als ein beliebig klein vorgeschriebener Werth. 

 Man kann wohl sagen, dass namentlich durch Betonung der Folgen 

 dieses Begriffs Herr Wei erstras s 2 ) in den Theil der Lehre von den 

 Reihen , der sich mit der Abhängigkeit ihrer Summe von den Argu- 

 menten ihrer Glieder beschäftigt, nicht minder tief und nachhaltig ein- 

 gegriffen hat, als seinerzeit Lejeune-Dirichlet in die Theorie der 

 numerischen Reihen, indem er die Analysten auf den Unterschied zwischen 

 der bedingten und unbedingten Convergenz aufmerksam machte. 



2. Die Hauptsätze der Theorie der trigonometrischen Reihen durch 

 Einführung jenes Begriffs in Frage gestellt. 



Die überraschendste Folgerung, welche mit dem Begriff der gleich- 

 mässigen Convergenz zusammenhängt, ist die, dass eine Reihe, glied- 

 weise integrirt, zuverlässig nur dann das Integral ihrer Summe liefert, 

 wenn sie nicht in jedem kleinsten Intervall des Arguments einen Sei- 

 del'schen Punkt enthält, mit anderen Worten, wenn sie mit Ausnahme 

 durch endliche Intervalle getrennter Punkte gleichmässig convergent ist. 



langsam werden muss. Ich will ein Beispiel dafür angeben , dass dasselbe Verhalten bei 

 einer durchweg stetigen Function eintreten kann. Die Reihe, deren ptes Glied, Summe 

 bis zum nten Gliede, Rest resp sind: 



xp x(p — 1) _ x nx 1 



l~+~xp" ~~ 1 -+- x (p — 1) - x 2 p 2 + xp (2 — x)+l - x ' 1 + nx ' 1+nx ' 

 ist von mir schon früher angeführt worden (Antrittsprogr. pag. 25), um an ihr die unendliche 

 Verschlechterung der Convergenz zu zeigen. Ihre Summe ist 1, ausgenommen für x = o, 

 wo sie Null ist. Schreiben wir darin x* statt x und ziehen die ursprüngliche Reihe ab, 



1 1 . . . 



so ist die Differenz für ieden Werth von x Null, und der Rest r~ i z — - — ; giebt 



J 1-fnx' l-|-nx 



= f gesetzt: 



nx(l — x)=* (1 + nx) (1 4-nx 2 ) 



wird hierin x = o, so muss n unendlich werden. 



2) Eine gedruckte Mittheilung aus der Feder des Herrn Weierstrass existirt darüber wohl 



nicht, siehe aber: H. Heine, Borchardt's Journ. Bd. 71, pag. 353. 



