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Ob dies der Fall sei , pflegt an der Reihe selbst nur sehr schwer 

 sich feststellen zu lassen. So wurde denn zuerst die Theorie der tri- 

 gonometrischen Reihen, bei welchen die gliedweise Integration eine grosse 

 Rolle spielte und die für die directe Untersuchung der Art ihrer Con- 

 vergenz fast unzugänglich zu sein scheinen, durch den neuen Begriff 

 ins Herz getroffen, und zwar dergestalt, dass wir mit einem Schlage 

 hinsichtlich der wichtigsten Sätze dieser Theorie wieder nicht allein 

 hinter Dirichlet, sondern geradezu auf den Standpunkt vor Courier 

 zurückversetzt uns sahen. 



3. Anführung der in Rede stehenden Hauptsätze. 



Es handelt sich wesentlich um die Sätze: 



I. Wenn eine trigonometrische Entwickelung von der 



Form p= oo 



f(x) = -2" (a p cos. px + b p sin. px) 



p = 



gegeben ist, so giebt es keine zweite d er selben Form, aber 

 mit anderen Coefficienten a p ,b p , welche in dem Intervall 

 (— h . . . + ri) die nämliche Function f (x) darstellte. 



II. Die Coefficienten der Entwickelung lassen sich 

 durch die Summe der Reihe ausdrücken wie folgt: 



-\-rc +7i +rt 



a = 2^j'd«f(«) , a p = : ~Jdaf(a)cos. po , b p - -^-J daf(a) sin. pa, 



— n — n —7t 



jedesmal, wenn diese Ausdrücke einen Sinn haben. 



Beide Sätze wurden durch gliedweise Integration der Reihe f(x) 

 bewiesen und beiden war nun plötzlich der Boden entzogen. 



4. Geschichtliches über die weitere Entwickelung der Lehre von den 

 trigonometrischen Reihen. Der erste Hauptsatz wieder hergestellt. 



Herr Heine suchte in einer Abhandlung 3 ), in welcher er zuerst 

 weitere mathematische Kreise über diese Lage der Dinge unterrichtete, 

 den ersten Satz zu retten, was indessen kurz nachher in umfassenderem 



3) Borchardt's Journ. Bd. 71, pag. 353. 



