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folgt &(x) = c + CjX, verdanken wir, wie er mittheilt, Herrn Schwarz, 

 und es ist zu bemerken, dass dieser Beweis, wenn gleich er einen Ge- 

 danken eines früheren Beweises benützt, doch Neues enthält, und nament- 

 lich Ungenauigkeiten des früheren Beweises vermeidet. 6 ) 



Der zweite Rie man n'sche Satz dient nach einem von Herrn Heine 

 ersonnenen Verfahren 7 ) dazu, um zu zeigen, dass wenn die Differenz 

 der Functionen F(x) in zwei durch einen Divergenzpunkt der Reihe 

 f(x) getrennten Intervallen von x zwei linearen Functionen gleich ist, 

 diese linearen Functionen dieselben sind. 



6. Lieber den zweiten Hauptsatz. Der Verfasser kündigt an, dass er auch 

 diesen wiederherzustellen vermag. 



In Bezug auf den ersten Hauptsatz der Theorie der trigonometri- 

 schen Reihen können wir also die Untersuchung für geschlossen an- 

 sehen. Ueber den zweiten Satz, dass unter gewissen nothwendigen Be- 

 dingungen für f(x) die Coefficienten die von Fourier entdeckte Form 

 haben, scheint seit der H e in e'schen Abhandlung, die übrigens auf diese 

 Frage nicht eingeht , keine Veröffentlichung erfolgt zu sein , so dass 

 hier noch nichts geklärt ist. 



Es ist mir schon seit längerer Zeit bekannt, dass auch der zweite 

 Satz sich wiederherstellen lässt, wenn man f(x) der Bedingung unter- 

 wirft, stetig zu sein, ausgenommen in gesonderten Punkten. 



Diese Bedingung für f(x) ist aber viel einschränkender, als die 

 der Integrirbarkeit schlechthin, welche genügt, damit die Fourier'schen 

 Coefficienten nicht sinnlos seien. Und die Aufgabe, welche hier unsere 

 mathematische Wissbegierde am meisten reizt, ist doch die, festzustellen 

 ob die Coefficienten der Reihe f(x) die Fourier'sche P'orm haben jedes- 

 mal, wenn f(x) eine Integration zulässt, oder zu ermitteln, wo hier die 

 Grenze liegt. 



6) Cours de calcul differentiel et integral par J. A. Serret, pag. 17. Eine Function, die auf- 

 hört Null zu sein, braucht deshalb nicht sogleich ins Wachsen oder Abnehmen zu gerathen, 



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sondern sie kann, wie x sin. — bei x= o mit unendlich kleinen Schwankungen anfangen. 



7) Borchardt's Journ. Bd. 71, pag. 359. 



