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Nun, ich glaube jetzt auch diese Aufgabe erledigen zu können, 

 und zwar auf die allgemeinste Weise. Etwas tieferes Eingehen in »die 

 Natur der durch Reihen dargestellten integrirbaren Functionen und 

 eine den veränderten Bedingungen angemessene Erweiterung des Appa- 

 rats von Lehrsätzen, dessen Herr Cantor sich bedient hat, führen schliess- 

 lich verhäitnissmässig leicht zum Ziele. 



Ich muss meiner Analyse einige Bemerkungen über allgemeine 

 Eigenschaften der hier auftretenden Functionen voranschicken. 



II. Vorbereitende Betrachtungen allgemeiner Natur. 



7. Werthevorrath und mittlerer Werth. 



Alle Werthe, welche man aus einer Operation f(x) ziehen kann, 

 sei es indem man entweder für x eine Zahl x, einsetzt und dann f(Xj) 

 berechnet, oder indem man für x eine Folge x t + e' , Xj +■ e", . . dem 

 Xj sich unbegrenzt nähernder Zahlen einführt, dazu die Werthe f(xj + c'), 

 f(x x + «"),... berechnet und nachsieht, welcher Grenze sie sich nähern: 

 den Inbegriff aller solcher Werthe werde ich Werthevorrath von 

 f(x) für den Punkt x = x, nennen. Unter Werthevorrath von 

 f(x) für ein Intervall von x soll dann der Inbegriff der Werthe- 

 vorräthe von f(x) für die einzelnen Punkte des Intervalls verstanden 

 werden. 



Mittlerer Werth eines Werthe vor raths wird ein Werth 

 genannt, von dem nichts weiter bekannt oder doch zu wissen nöthig 

 ist, als dass er nicht grösser als der grösste und nicht kleiner als der 

 kleinste Werth des Werthevorraths ist. 



Die Functionen, mit denen wir es hier zu thun haben, sind Summen 

 unendlicher Reihen, die zwar nicht durchweg convergent, aber — vor 

 der Hand wenigstens — durchweg endlich sein müssen, woran sich 

 einige für das Folgende nützliche Bemerkungen knüpfen. 



