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8. Ueber divergente Reihen mit unbestimmter aber nicht unendlicher 



Summe. 



Wenn eine Reihe 



U n = u, + u 2 + . . . + u n 

 für n = co nicht unendlich wird, aber auch keiner bestimmten Grenze sich 

 nähert ,' so schwankt U n von unendlich grossen Werthen von n an bei 

 fernerem Wachsthum von n zwischen zwei der Reihe eigenthümlichen 

 festen Grössen hin und her, die ich schon früher 8 ) unter dem Namen 

 Unbestimmtheitsgrenzen besprochen habe. Nennen wir sie A 

 und B, wo B>A, so kann U n entweder erst im Unendlichen B er- 

 reichen, oder U n kann im Endlichen unbegrenzt oft B erreichen und 

 auch übersteigen. In Bezug auf A gilt Entsprechendes. Diese Grössen 

 A und B sind einer völlig präcisen mathematischen Definition fähig, 

 wobei es ausreicht B zu betrachten. 



Zunächst muss es für jedes n eine kleinste Grösse B n geben, die 

 U n + m 5 wenn m von o bis co wächst, nicht mehr übersteigt , da sonst 

 U n entweder nur wachsend, oder bald zunehmend bald abnehmend über 

 jede Grenze hinaus wachsen müsste, gegen die Voraussetzung, dass U n 

 nicht unendlich werden könne. Diese Grösse B n nimmt bei wachsendem n 

 nicht zu, weil sie die kleinst e Grösse ist» die U n nicht mehr übersteigt. 

 Wenn sie also nicfyt constant ist, so kann sie nur abnehmen, während 

 n zunimmt. Dann muss. sie sich aber, da sie auch nicht — oo werden 

 darf, einer endlichen bestimmten Grenze nähern. Diese Grenze Lim n=;00 

 B„ nennen wir B. 



9. Fortsetzung. 



Nachdem hierdurch die Existenz der festen Grössen A und B ausser 

 Zweifel gesetzt ist, hebe ich folgende ihrer Eigenschaften hervor. 



1. Entweder nimmt bei wachsend ej?i n die Summe U n 

 unbegrenzt oft den Werth B an, oder diesfindet für irgend 



8) Antrittsprogramm, pag 3. 



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