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ein n im Endlichen zum letztenmal statt, so dass von da 

 ab stets U n <B und erst für n= oo U n =B wird. 



Im ersteren Falle wird U n entweder unbegrenzt oft B gerade er- 

 reichen und nie übersteigen, wenigstens von hinreichend grossem n an, 

 oder U n wird B unbegrenzt oft übersteigen. Dann muss aber, wie aus 

 der Definition von B folgt, der bei solchem Uebersteigen eintretende posi- 

 tive Werth von IL — B mit — verschwinden. 



n n 



Im zweiten Falle, wo erst im Unendlichen U a gleich B wird, nimmt 

 aber U n unbegrenzt oft Werthe an , die sich von B um Grössen unter- 

 scheiden , die mit — Null werden. Dies lässt sich noch etwas schärfer 

 ausdrücken: Wenn, unter N irgend eine hinreichend grosse Zahl ver- 

 standen, für n ^ N der kleinste Werth von B — U n mit J bezeichnet wird, 

 so wird für n > N unbegrenzt oft B — d < U n < B, da man sonst an- 

 nehmen müsste, dass bei wachsendem n fortdauernd U n 5^ B — & bleibt, 

 und für n = oo plötzlich um 3 springt, was ungereimt wäre. 



Kurzum es wird, wie oben bemerkt, von sehr grossen Werthen 

 von n an U n = u! + u 2 + . . . u n zwischen den Grössen A und B hin und 

 her schwanken, und, falls Lim n _ 00 u n = o ist, für unendliche Werthe 

 von n nur um unendlich kleine Werthe zunehmen, also gleichsam stetig 

 zwischen A und B sich hin- und herbewegen. 



Weiter folgern wir noch: 



2. Man nenntdieReiheU = u, + u, + . . . = Lim IL con- 

 vergent, wenn A = B. Falls nicht A = B, so kann man dem 

 Limes von U n die Form: 



Lim U n = 2+ jJ 



4.x. -i ^ A + B . B — A , . . . , 



ertneilen, wo 2l = , z/ = und i eine zwischen 



' 2 2 J 



den Grenzen — 1 und + 1 (beide incl.) völlig willkürliche 



Grösse vorstellt. 



3. Denken wir uns die Summen U n und Ü N gebildet, und 

 n sowohl wie N>n so gross, dass diese Summen bis auf 

 einen unendlich kleinen Fehler sich auf die Form -Z + jz/ 

 bringen lassen. Alsdann hat man: 



U N - ü. = (j N - j n ) ä = j (B - A) 

 wo j zwischen — 1 und + 1. Bezeichnen wir also mit r n den 



