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II. lieber die Bedingung der Integrirbarkeit der durch Reihen dargestellten 



Functionen. 



Eine Function ist im Intervall a <j x 5^ b integrirbar, d. h. die Summe 

 (x, — a) f (a) + (x 2 — Xj) f(x : ) + . . (b — x n _ x ) f(x n _j), wo a<x 1 <x 2 <..<b, 

 nähert sich für n = oo einer einzigen endlichen Grenze, wenn für n = oo 

 zugleich mit den sämmtlichen Differenzen ^ = x p — x p _ 1 (deren Summe 

 c^t + ^ 2 + . .^ n = b — a sei) die Summe : 



#1 °\ + ^2 °2 + • • ^n O n 



verschwindet, unter o v die grösste (positiv genommene) Werthdifferenz 

 innerhalb des Werthevorraths von f(x) für das Intervall a + (J\ 4- . . . 

 ^p_i ^ x 5^ a + J\ + . . . (? p verstanden. 9 ) Nun sei die integrirbare Func- 

 tion f(x) von der Form </> (x) + j t/> (x) , wo i//(x) positiv und j eine 

 zwischen — 1 und + 1 willkürliche Grösse vorstellt, so behaupte ich, 

 dass, durch r/>(x p ) den grössten Werth von ip(x) im Intervall 

 a + d x + . . J" p _ 1 < xf^ a + d\ + . . d p bezeichnet, die Summe 



bei Abnahme der d die Null zur Grenze hat. 

 i In der That, es muss jedenfalls verschwinden : 



Lim Zd p {(p(x p ) + J! V(x p ) - [</>(x p ) + j 2 vC x p)]} = Lim 2 d v (Ji - Ja) V( x p) 



w0 j i , j o beliebige dem Intervall — 1 . . -f- 1 angehörige Grössen vor- 

 stellen. Denn die Differenz in der Klammer { } ist eine Differenz von 

 Werthen der Function f(x) im Intervall (a + d l + . . (5' p _ 1 ) . . (a + (5\ + ^ p ). 

 Setzt man daher j : = — , j 2 — — , so folgt die Richtigkeit des Be- 

 haupteten. 



9) Es bedarf dies des Beweises, den ich in einem Aufsatz: Versuch einer Classifica- 

 tion der willkürlichen Functionen etc. Borchardt's Journal, Bd 79, p. 23 

 liefere. 



In der Bedingung des Textes können, ohne dass sie an Allgemeinheit einbüsst, die In- 

 tervalle <5. ) . . einander gleich angenommen werden. Diese und andere Veränderungen 

 des Wortlauts der Bedingung der Integrirbarkeit umfasst ein Satz, den ich als Nachtrag 

 zum eben erwähnten Aufsatz in demselben Bande des Borchardt'schen Journals p. 259 

 unter dem Titel: „Ueber eine veränderte Form der Bedingung für die In- 

 tegrirbar keit der Funktionen" veröffentliche. 



