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Es mag späterer Anwendung wegen noch folgende Bemerkung hier 

 Platz finden. Bilden wir die Summe: 



p = m 



i* B *(* + *, +.*,), 



p = l 



wo d\ 4- d* 2 ~H • • ^m — a ? un( i ff(x 4- (5", 4- . . J p ) die grösste Werthdifferenz 

 von f(x) im InterAall (x + d\ 4- . . (5 v p _ ] ) . . . (x 4- d\ 4- . . d^) bedeutet, 

 und nehmen f (x) im Intervall A . . . B integrirbar an, wo B — A > a, 

 so giebt es stets eine solche Grösse d 1 ' des grössten unter den d*, dass 

 die vorstehende Summe für jeden Werth von x des Intervalls A . . B — a 

 kleiner als eine beliebig klein vorgeschriebene Grösse ist. Der Be- 

 weis dafür ergiebt sich aus der Ueberlegung, dass vorstehende Summe 

 stets als ein Theil der Summe d\ a x 4- d* 2 o 2 4- . . d n o n angesehen werden 

 kann, wo d\ 4- d 2 + . . d > n = B — A. 



12. lieber partielle Integration. 



Es sei <p(x) stetig und der Differenzialquotient cp' (x) sei integrirbar, 

 ferner sei f(x) integrirbar, so soll gezeigt werden, dass: 



b b b a 



Jd a epia) f(«) = y(b)Jd « f(«) - Jd a <p' (a) jd ß f(ß). 



a a a a 



Diese Formel gilt zunächst falls (p(x) stetig ist, und auch </>'(x) 

 und f(x) bis auf eine endliche Anzahl sprungweiser Werthänderungen 

 stetig sind. (Jede sprungweise Werthänderung von y(x), z. B. für 

 x = c, fügt an der rechten Seite ein Glied : 



{<p(c 4- o) — <p(c — o)} d a f(a) 



hinzu). 



Nehmen wir nun von cp'(x) und f (x) lediglich die Integrirbarkeit an. 

 Ein einfaches Verfahren Sätze der Integralrechnung, die für Functionen 

 mit einer endlichen Anzahl von Sprüngen gelten, auszudehnen auf Func- 

 tionen, von denen nur die Integrirbarkeit vorausgesetzt ist, lautet, auf 

 vorliegenden Fall angewandt, so : Wir zerlegen das Interwall b — a in 

 die Theile J u z/ 2 , . . J B , bezeichnen mit fj(x) eine Function, die inner- 



