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halb eines jeden Intervalls J v constant und gleich dem kleinsten Werthe 

 von f(x) in diesem Intervall ist, und setzen f(x) = f x (x) -f J f(x). Als- 

 dann ist J f (x) positiv und ausserdem ist 



b 

 Lim n = oo J^f(x)dx = o. 



a 



Denn zerlegt man das Integral in die Theile von a bis a + J x , 

 a + z/j bis a + z/, + z/ 2 , ... so kann man es schreiben: 



J 1 .Ji(x 1 ) + J 2 .Ji(x 2 )+... 

 wo z. B. z/f(xj) nicht grösser als die grösste Werthdifferenz der Func- 

 tion f im Intervall J x ist. 



Nun ist, weil f](x) nur eine endliche Anzahl Sprünge erfährt: 



b b b a 



Cd a cp(a) f,(«) - <p(b) Cd af l (a)+ f d a (p'(a) f d ß f,(/5) = o 



a a a a 



ausserdem verschwindet die Grösse: 



b b b a 



Cd a cp(a) J f («) - <p(b)Cd a 4 f (a) + J d a <p' (a) f d /? z/ f (/?) 



a a a a 



wenn n unendlich wird, was vom letzten Glied am schnellsten mit dem 



a 



zweiten Mittelwerthsatz nachgewiesen wird, da j d ß J i(ß), weil J f(ß) 



a 



positiv ist, mit a wächst. Addirt man nun die vorstehenden Aggregate, 

 so etc. 



Um zu zeigen, dass auch cp' (x) nur inlegrirbar zu sein braucht, 



X 



setze many(x) = y(a) + I y'(a)da, 10 ) worauf man cp' (x) = <^'i(x) + J(p'(x) 



a 



macht, und wie vorher verfährt. 



Weiter werde f(x) für x = c (a <| c <^ b) unendlich, doch so, dass 

 c — « 

 Lim f _ o j d a f («) und Lim f _ jd « f (et) 



c+ s _ 



10) Auch wenn, wie hier y(x) stetig vorausgesetzt wird, so bedarf diese Formel des Beweises, 

 der im Anhang au dieser Abhandlung nachgeliefert wird. 



