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 den r p von unendlich grossen Werthen von p und N an annehmen 



n 



kann, ist O(x)— U(x), (Art. 9, Satz 3). Die mittleren Werthe Tr p 1 , 



m+ 1 



N N 



I r p (sin. (p— 1) e) 2 I, I r p sin. (2p— l) « . EühJL I werden also numerisch 



n + 1 n -+- 1 



nicht grösser als O(x) — U(x) sein können. 

 Hieraus geht hervor, dass erstens 



n 



Lim 2 = j {0(x)-ü(x)} 



m+1 K ' 



ist, wo j zwischen — 1 und + 1 liegt. 



N 

 Untersuchen wir zweitens Lim 2 . Falls n und N so unendlich 



n + 1 



n .11 1 



werden, dass -rr verschwindet, so convergirt -, — -r, — r xt,9 gegen — s- ? 

 N ° (e n)^ (eN)^ ö & n 2 



1 N 1 1 / 1 1 \ ; 



T?..~Zf. S e S en —, und \-^t + -^-) (°( x ) _ U ( x )) lst der numerisch 



n-|- 1 ir 



N 



grösste Werth, den man sich unter Lim 2 denken kann. Endlich die 



n+l 



erste Summe in 4 hat zur Grenze Null, während die erste Summe rechts 

 in 3 nach Art. 10 geschrieben werden kann: 



Q(x) + U(x) . Q(x)- U(x) 

 2 +J 2 



j zwischen — 1 und + 1. Es folgt also im Ganzen: 

 N /sin. p«V 



wo j' = j(~^~ + ~ t + — ) ist, und j wieder zwischen— 1 und + 1, oder 



wir haben den Satz : 



Wenn die Reihe: 



00 



f(x) = -S"a p cos. px + b p sin. px 







zwar nicht convergirt aber auch nicht über alle Grenzen 

 wächst, und man bezeichnet mit 0(x) und U(x) dieGrenzen 



18* 



*_ 0(x)+U(x) , < Q(x)-ü(x) 

 Lim 2Ä V ( —^7— ) - - — g + j' ~ 2 



